CHAPTER 00 空间解析几何 / 完整课程

一张总图，贯通整章

从点集与约束，到方向与度量，再到局部线性近似。

先统一语言：同一组数字，可能扮演不同角色推荐阅读路径，不是互不相干的栏目如何读一幅交互图这套页面涵盖什么

空间解析几何 · 微分的几何应用

不把空间几何
学成一袋公式。

一条直线，是沿一个方向允许的位移；一个平面，是被一个法向量限制的位移。旋转保留某些量，投影遗忘某个坐标，微分则把弯曲的对象在一点附近线性化。

12 个学习单元10 类曲面图谱逐步推导 · 联动图形 · 自测

本章的最高层结构

先问对象是什么，再问允许怎样移动。

方程负责“哪些点属于它”，向量负责“哪些方向属于它”，导数负责“在这一点附近怎样近似它”。不要把点、向量、几何对象和定义它的函数混为一谈。

01 / 约束

点集与自由度

三维空间中，一个独立正则等式通常留下一个曲面；两个留下曲线。独立性、实数解与非零条件都不能省。

F(x,y,z)=0,\quad G(x,y,z)=0

02 / 方向

允许位移与垂直方向

直线由一个方向生成；平面由一个法向限制。点积检验正交，叉积制造公垂直方向。

\boldsymbol n\cdot\Delta\boldsymbol r=0

03 / 线性化

曲对象的局部直模型

曲线在正则点用切线近似，曲面在正则点用切平面近似。方向导数也是全微分在一个方向上的读数。

\Delta f=\nabla f\cdot\Delta\boldsymbol r+o(\|\Delta\boldsymbol r\|)

先统一语言：同一组数字，可能扮演不同角色

对象	它回答什么	不能混淆的地方
点 $P=(x,y,z)$	在哪里？	点是位置；点减点得到位移向量。
向量 $\boldsymbol v=(a,b,c)$	朝哪里、移动多少？	自由向量可以平移；零向量没有方向。
曲面 $\Sigma=\{F=0\}$	哪些点满足一个约束？	曲面是点集， $F$ 是定义它的函数；同一曲面可由不同函数定义。
函数 $f(x,y)$	每个输入对应什么数值？	其梯度在二维输入空间；图面 $z=f(x,y)$ 位于三维空间。

如何读一幅交互图

每个实验都给出原方程、可变参数、操作任务和观察结论。先读图上方“先看什么”，再改变一个参数，最后用下面的推导解释刚才看见的变化。不要同时改很多量。

三维负责空间关系

查看原曲线、曲面、母线、法向与投影射线如何相交。默认使用正交相机；坐标轴按真实单位等比例显示，避免把球画成椭球。

二维负责无歧义判断

旁边的平面截线、投影范围和数值检查用同一组参数计算。看不清空间遮挡时，先切换坐标面视角，再读二维对照。

图形有显示窗口，不代表几何对象有边界。

柱面、双曲面、直线等无界对象只显示有限片段；每个实验会说明截取范围。图中的有限边缘不能被当成原对象的边界。颜色用于区分角色，不代表额外函数值。

这套页面涵盖什么

自由向量、单位化、定比分点、三个积；平面束、直线平面方程、位置与夹角、点线面距离、异面线距离、垂足；柱面与十类曲面、截痕法、曲线参数化；坐标轴与一般直线旋转；曲线投影、投影柱面、一般平面上的正投影、立体的三个坐标面投影；切线、法平面、切平面、法线；方向导数、梯度、等值线与图面法向的区别；综合题与条件检查。

依据你提供的 21 张笔记重新组织。笔记中的运算笔误、遗漏范围和非零条件，在对应推导处直接修正，而不是另放一个互不相干的补丁。

CHAPTER 01 空间解析几何 / 完整课程

向量：三个积，三种几何任务

点积读分量，叉积造垂直，混合积查共面。

1. 点与位移：为什么一定是终点减起点 2. 线性运算、平行与定比分点 3. 点积：有向投影乘上另一个向量的长度 4. 叉积：同时垂直于两个方向，并记住有向面积 5. “含零坐标秒算”只是解两个正交方程 6. 混合积：体积是否塌成零

先建立角色，而不是先背计算式

向量把“朝向关系”变成可以计算的代数。

本节的终点不是熟练按行列式，而是能判断：这道题需要一个数，还是需要一个方向？答案类型本身就在提示运算类型。

1. 点与位移：为什么一定是终点减起点

设 $A=(x_1,y_1,z_1)$ ， $B=(x_2,y_2,z_2)$ 。从 $A$ 到 $B$ 的位移满足 $A+\overrightarrow{AB}=B$ ，所以

\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1).

$\boldsymbol a=(a_1,a_2,a_3)$ 的长度是 $\|\boldsymbol a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ 。若 $\boldsymbol a\ne\boldsymbol0$ ，同向单位向量为

\boldsymbol e=\frac{\boldsymbol a}{\|\boldsymbol a\|}.

只需要方向

写直线、平面方程时，方向向量或法向量乘任意非零常数都不改变对象。一般不必单位化。

需要按单位距离比较

方向余弦、投影长度、方向导数必须正确处理长度。特别是方向导数，不能把任意速度向量直接当作单位方向。

2. 线性运算、平行与定比分点

坐标相加对应位移首尾相接： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ 。两向量减法是加上反向向量。数乘 $\lambda\boldsymbol a$ 改变长度； $\lambda<0$ 还反转方向。

\|\boldsymbol a+\boldsymbol b\|\le\|\boldsymbol a\|+\|\boldsymbol b\|,\qquad\bigl|\|\boldsymbol a\|-\|\boldsymbol b\|\bigr|\le\|\boldsymbol a-\boldsymbol b\|.

若 $\boldsymbol a\ne0$ ， $\boldsymbol b$ 与它共线，代数上最稳妥的形式是 $\boldsymbol b=\lambda\boldsymbol a$ 。例如 $(3,0,6)=3(1,0,2)$ 。坐标成比例不是要求把中间一项写成 $0/0$ 。向量夹角只对非零向量定义；零向量出现时直接用线性代数条件，别谈它的方向角。

推导，不死背

定比分点： $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}$

记三个点的位置向量为 $\boldsymbol a,\boldsymbol m,\boldsymbol b$ 。先写“终点减起点”：

\boldsymbol m-\boldsymbol a=\lambda(\boldsymbol b-\boldsymbol m)\quad\Longrightarrow\quad(1+\lambda)\boldsymbol m=\boldsymbol a+\lambda\boldsymbol b.

\boxed{M=\frac{A+\lambda B}{1+\lambda}},\qquad\lambda\ne-1.

$\lambda>0$ 对应内部的分点； $\lambda=1$ 是中点。对不同点 $A,B$ ， $\lambda=-1$ 不能给出有限分点。这里用的是有向向量等式，不要与无符号的长度比混用。

3. 点积：有向投影乘上另一个向量的长度

\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\|\boldsymbol a\|\,\|\boldsymbol b\|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

结果是一个数。它为正、零、负，分别对应夹角小于、等于、大于 $90^\circ$ 。它不是“两个向量乘出了一个新方向”。

有向投影：一个数

\operatorname{comp}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{\|\boldsymbol b\|}.

方向相反时可以为负；投影的几何长度要再取绝对值。

投影向量：一个向量

\operatorname{proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{\|\boldsymbol b\|^2}\boldsymbol b.

用“有向长度 × 单位方向”推导，分母为什么是平方也就清楚了。

由点积直接得到 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a=\|\boldsymbol a\|^2$ 、非零向量正交当且仅当点积为零，以及

|\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b|\le\|\boldsymbol a\|\,\|\boldsymbol b\|.

方向余弦就是单位向量的坐标。若与三条坐标轴正向的夹角为 $\alpha,\beta,\gamma$ ，则

\frac{\boldsymbol a}{\|\boldsymbol a\|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma),\qquad\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

INTERACTIVE / 互动推演

把三个积放进同一个几何现场

先把夹角拖过 90°，观察点积变号；切到叉积看垂直方向与面积；再切到混合积，把有向高度从正拖到负。

LAB

两向量夹角 θ / 度55第三向量的有向高度1.2

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

a 与底面b 与侧边投影 / 公垂直方向

a = (2, 0, 0)，b = 1.8(cos θ, sin θ, 0)，c = (0.5, 0.8, h)。箭头按实际坐标绘制；共面或平行时，面积 / 体积可退化为零。

高观点：把一个向量拆成“沿目标方向”与“垂直目标方向”两份。

对非零 $\boldsymbol b$ ，令

\boldsymbol a_\parallel=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{\|\boldsymbol b\|^2}\boldsymbol b,\qquad\boldsymbol a_\perp=\boldsymbol a-\boldsymbol a_\parallel.

直接验算：

\boldsymbol a_\perp\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b-\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{\|\boldsymbol b\|^2}\|\boldsymbol b\|^2=0.

所以不是凭图猜它们垂直，而是代数强制把余下部分变成正交分量。以后点到线取垂直线方向的分量，点到面取沿面法向的分量，向量投到平面则减掉法向分量。看似三种公式，实质只是在这两份中选择保留哪一份。

\|\boldsymbol a\|^2=\|\boldsymbol a_\parallel\|^2+\|\boldsymbol a_\perp\|^2.

最后这条勾股关系也是检查投影长度的办法：正交投影不会把向量变长；若算出的投影模超过原向量模，单位化或分母很可能错了。

4. 叉积：同时垂直于两个方向，并记住有向面积

\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1).

三个分量依次对应 $yz,zx,xy$ 两坐标组成的二阶行列式。若按三阶行列式第一行展开，符号是“正、负、正”；中间分量已经把负号吸收到 $a_3b_1-a_1b_3$ 里。

\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix},\qquad\|\boldsymbol a\times\boldsymbol b\|=\|\boldsymbol a\|\,\|\boldsymbol b\|\sin\theta.

右手从 $\boldsymbol a$ 转向 $\boldsymbol b$ ，拇指给出叉积方向。交换次序会反向： $\boldsymbol b\times\boldsymbol a=-\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ 。模是平行四边形面积，三角形面积要除以 2。叉积为零表示线性相关；对非零向量就是平行。

把每个分量算清楚

$\boldsymbol a=(2,1,-1),\ \boldsymbol b=(1,-1,2)$

\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\bigl(1\cdot2-(-1)(-1),\ (-1)\cdot1-2\cdot2,\ 2(-1)-1\cdot1\bigr)=(1,-5,-3).

交叉检查： $(1,-5,-3)\cdot(2,1,-1)=2-5+3=0$ ；与 $(1,-1,2)$ 的点积也是 $1+5-6=0$ 。最后做两个点积检验，是低成本防止中间分量符号错的方法。

5. “含零坐标秒算”只是解两个正交方程

求同时垂直于 $(2,4,-1)$ 与 $(0,-2,2)$ 的非零向量。设 $\boldsymbol n=(u,v,w)$ ：

\begin{cases}2u+4v-w=0,\\-2v+2w=0.\end{cases}

第二式给出 $v=w$ 。取 $v=w=1$ ，则 $u=-3/2$ ，所以可以取 $(-3,2,2)$ 。笔记中“留空、交换、补负号”的快捷步骤，本质就是先利用简单一行解出关系，再代另一行。

例如 $(1,2,0)$ 与 $(0,3,1)$ 可取公垂直向量 $(2,-1,3)$ ； $(2,4,-1)$ 与 $(0,0,1)$ 可取 $(2,-1,0)$ 。取值大小不重要，非零和两个点积等于零才重要。

6. 混合积：体积是否塌成零

[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}.

叉积的模给底面积，再点乘 $\boldsymbol c$ 读出垂直底面的有向高度。因此平行六面体体积是混合积的绝对值，四面体体积是这个绝对值的 $1/6$ 。

[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=0\iff\text{三个向量平移到同一起点后共面}.

循环换位不改变数值；交换两个向量改变符号。判断两条空间直线是否共面、求异面线距离时，混合积都会重新出现。

本节自检

为什么找两个平面的交线方向应做叉积，而求两平面的夹角应做点积？

展开解释

交线需要一个同时垂直于两个法向的向量；夹角需要一个比较两个法向朝向的数。结果类型和几何任务共同决定运算，不是凭题目出现两个向量就随意“相乘”。

CHAPTER 02 空间解析几何 / 完整课程

直线与平面：点＋方向信息

直线允许一个方向；平面禁止一个法向分量。

1. 直线的三种写法，是同一个对象 2. 平面一般式、点法式与截距式 3. 过三点作平面：先造平面内的两个方向 4. 平面束：用已知交线自动满足“经过”的条件 5. 参数式是求交点的“公共接口”

两种生成方式

直线写“位移是倍数”，平面写“位移与法向正交”。

几乎所有直线、平面方程，都可以从下面这两个向量关系重新推出来。记住源头，零分母和符号就不会把你绕晕。

直线：一维允许位移

\overrightarrow{M_0M}=t\boldsymbol\tau,\quad\boldsymbol\tau\ne0.

给一个点与一个非零方向，就确定整条直线。

平面：一个正交约束

\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{M_0M}=0,\quad\boldsymbol n\ne0.

给一个点与一个非零法向，就确定整个平面。

1. 直线的三种写法，是同一个对象

经过 $M_0=(x_0,y_0,z_0)$ ，方向 $\boldsymbol\tau=(l,m,n)\ne0$ ：

\begin{cases}x=x_0+lt,\\y=y_0+mt,\\z=z_0+nt,\end{cases}\qquad t\in\mathbb R.

若 $l,m,n$ 都不为零，可消去 $t$ 写成对称式：

\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}.

零分量不是零分母运算。

方向 $(1,0,2)$ 应写成 $y=y_0$ 、 $(x-x_0)=(z-z_0)/2$ ，或直接用参数式。最底层的含义永远是“两个非零变化量用同一个参数同步变化；零分量对应的坐标固定”。

还可把直线写成两不平行平面的交线：

L:\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.\end{cases}

设两法向为 $\boldsymbol n_1,\boldsymbol n_2$ 。交线方向同时垂直于它们，故 $\boldsymbol\tau=\boldsymbol n_1\times\boldsymbol n_2$ 。要求叉积非零；两个重合平面的方程不会神奇地交出一条直线。

2. 平面一般式、点法式与截距式

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad Ax+By+Cz+D=0.

$(A,B,C)\ne(0,0,0)$ 是法向量。整体乘非零常数不改变平面。若平面与三轴分别交于 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ ，且三个截距都非零且有限，则

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.

过原点、平行于某条坐标轴等情形，不能强行套截距式。一般式和点法式始终更稳妥。

INTERACTIVE / 互动推演

同一个方向条件，能否区分位置？

平面固定为 z = 0。切换四种位置关系，再移动线上点；同时观察方向与法向的点积。

LAB

线上点的参数 t0.6

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

平面 z = 0直线及线上点平面法向

平面仅显示有限方形片，直线仅显示有限线段，实际二者均无界。右图是在 y = 0 平面中的精确截面。

3. 过三点作平面：先造平面内的两个方向

笔记例 3 · 完整重算

经过 $A(1,1,-1),B(-2,-2,2),C(1,-1,2)$

从同一起点 $A$ 出发：

\overrightarrow{AB}=(-3,-3,3),\qquad\overrightarrow{AC}=(0,-2,3).

法向量与这两个方向都垂直：

\boldsymbol n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-3,9,6)=3(-1,3,2).

取简单的 $(-1,3,2)$ ，带入点 $A$ ：

-(x-1)+3(y-1)+2(z+1)=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{-x+3y+2z=0}.

逐点代回均成立。若两个位移叉积为零，三个点共线，就不能唯一确定平面。笔记中 $\overrightarrow{AB}$ 的首分量要按 $-2-1=-3$ 计算。

4. 平面束：用已知交线自动满足“经过”的条件

设 $F=0$ 、 $G=0$ 是两个不平行平面。它们的交线上同时有 $F=0,G=0$ ，因此经过此交线的平面可写成

\boxed{\lambda F+\mu G=0},\qquad(\lambda,\mu)\ne(0,0).

简写 $F+kG=0$ 相当于把 $F$ 的系数固定为 1，因而遗漏 $G=0$ 。求平面束中与某个平面垂直的平面时，用法向点积为零确定系数；若单参数形式无解，要检查遗漏的那个平面，而不是立即判断题目无解。

5. 参数式是求交点的“公共接口”

将直线 $M=M_0+t\boldsymbol\tau$ 代入平面 $\boldsymbol n\cdot M+D=0$ ：

(\boldsymbol n\cdot\boldsymbol\tau)t+(\boldsymbol n\cdot M_0+D)=0.

系数	方程情况	几何含义
$\boldsymbol n\cdot\boldsymbol\tau\ne0$	唯一 $t$	线与面唯一相交
方向点积为 0，常数不为 0	无解	线在面外平行
方向点积与常数都为 0	任意 $t$	整条线包含在面内

所以“方向与法向垂直”只说明线的方向平行于面，不足以排除包含。方向条件之后，还要用一个点检查位置。

CHAPTER 03 空间解析几何 / 完整课程

角度与距离：读出垂直分量

方向决定夹角，位置决定相交，投影决定距离。

1. 先判方向，再判完整位置关系 2. 为什么线面角用正弦，而另外两种用余弦 3. 三个距离公式，由同一个“高”得到 4. 垂足：既在原对象上，又与连接方向垂直 5. 垂足公式：把多余分量减掉

把相似的公式分清

距离不是背分式，而是“高度”。

点到面的距离，是连接向量在法向方向的长度；点到线的距离，是平行四边形的高；异面线距离，是连接向量在公垂直方向的长度。

1. 先判方向，再判完整位置关系

对两个平面：法向平行意味着平行或重合；法向正交意味着两平面垂直。对直线与平面：方向向量平行法向意味着线面垂直；方向向量垂直法向意味着线在面内或线面平行。

对两直线 $L_1:P_1+t\boldsymbol\tau_1$ 、 $L_2:P_2+s\boldsymbol\tau_2$ ，令 $\boldsymbol w=P_2-P_1$ 。先计算叉积：

叉积为零

方向平行。再检查 $\boldsymbol w\times\boldsymbol\tau_1$ ：为零则重合，不为零则严格平行。

叉积不为零

方向不平行。再检查 $(\boldsymbol\tau_1\times\boldsymbol\tau_2)\cdot\boldsymbol w$ ：为零则共面相交，不为零则异面。

混合积等于零，不是无条件的“相交判据”。

平行线也使混合积为零。只有排除了平行，才可从共面推出唯一相交。求交点时 $t,s$ 是独立参数，不能擅自令 $t=s$ 。方向点积为零也只表示方向夹角为直角；“垂直相交”还要有交点。

2. 为什么线面角用正弦，而另外两种用余弦

有向非零向量夹角取 $[0,\pi]$ ，不对点积取绝对值。通常所说两直线、两平面和线面角，都取 $[0,\pi/2]$ ，应消除任意选择方向正负的影响：

线与线

\cos\theta=\frac{|\boldsymbol\tau_1\cdot\boldsymbol\tau_2|}{\|\boldsymbol\tau_1\|\|\boldsymbol\tau_2\|}.

面与面

\cos\theta=\frac{|\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2|}{\|\boldsymbol n_1\|\|\boldsymbol n_2\|}.

线与面

\sin\varphi=\frac{|\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol n|}{\|\boldsymbol\tau\|\|\boldsymbol n\|}.

点积看见的是“线方向与法向量”的角，不是线与平面的角；两者互余。自检：当线沿法向走，右侧为 1，此时线面角应为 $90^\circ$ ，因此必须对应正弦为 1。

INTERACTIVE / 互动推演

角度与距离，放回一个真实截面

先比较线面角与面面角，再看三种距离。右侧用真实截面或明确方向的正投影，把被透视隐藏的垂直关系展开。

LAB

高度 h1.4几何夹角 / 度35

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

目标线 / 面待测点 / 第二条线垂直距离 / 法向与角度

右图使用对应坐标截面或侧投影，不把三维长度随意压缩成平面长度。图内标明投影方向与横纵坐标。

3. 三个距离公式，由同一个“高”得到

法向投影

点到平面

平面上取一点 $M_0$ ，连接到待测点 $P$ 。沿法向的有向投影为 $(P-M_0)\cdot\boldsymbol n/\|\boldsymbol n\|$ ，取绝对值即距离。

d(P,\Pi)=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

因为 $A x_0+B y_0+C z_0=-D$ ，所以坐标公式中的常数项不是凭空出现的。

面积除以底

点到直线；平行线间距离

设 $M_0\in L$ 、方向为 $\boldsymbol\tau$ 。连接向量与方向向量构成平行四边形，其面积是叉积的模，除以底边长：

d(P,L)=\frac{\|(P-M_0)\times\boldsymbol\tau\|}{\|\boldsymbol\tau\|}.

两线平行时，只要在其中一条取一点，算它到另一条的距离即可。

公垂直方向的投影

两条不平行直线之间的距离

\boldsymbol n_c=\boldsymbol\tau_1\times\boldsymbol\tau_2\ne0,\qquad d=\frac{|\boldsymbol n_c\cdot(P_2-P_1)|}{\|\boldsymbol n_c\|}.

两线相交时数值为零；异面时为正。若两线平行，分母为零，应换成平行线公式，而不是给 $0/0$ 赋予意义。

平行平面的距离必须先把法向量系数统一成同一组：

\Pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0,\quad\Pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0\quad\Longrightarrow\quad d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

例如 $x+y+z+1=0$ 与 $2x+2y+2z+4=0$ ，先把第二式除以 2，距离为 $1/\sqrt3$ ，不是直接减 $1$ 和 $4$ 。二维点到直线的距离，则是点到平面公式删去第三个坐标的同构版本。

4. 垂足：既在原对象上，又与连接方向垂直

笔记例 4（1）

过 $A(2,1,3)$ ，作与 $L:(x+1)/3=(y-1)/2=z/(-1)$ 垂直相交的直线

垂足在 $L$ 上，设

Q=(-1+3t,1+2t,-t).

连接向量 $Q-A=(3t-3,2t,-t-3)$ 要与原线方向 $(3,2,-1)$ 正交：

3(3t-3)+2(2t)-(-t-3)=14t-6=0.

故 $t=3/7$ ， $Q=(2/7,13/7,-3/7)$ ，

Q-A=(-12/7,6/7,-24/7)=-\frac67(2,-1,4).

所求直线为

\boxed{\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{4}}.

另一正统做法：作过 $A$ 、法向为 $(3,2,-1)$ 的平面 $3x+2y-z-5=0$ ，再与 $L$ 求交。这个平面方程正是上面的点积正交条件，没有新的原理。

5. 垂足公式：把多余分量减掉

点 $P$ 到平面 $\boldsymbol n\cdot X+D=0$ 的垂足 $H$ 应位于法向线上。设 $H=P-\lambda\boldsymbol n$ ，代入平面求 $\lambda$ ：

\lambda=\frac{\boldsymbol n\cdot P+D}{\|\boldsymbol n\|^2},\qquad\boxed{H=P-\frac{\boldsymbol n\cdot P+D}{\|\boldsymbol n\|^2}\boldsymbol n}.

这是下一节“一般平面上的正投影”的点级别版本。每个点都这样投影，就得到整条直线的投影。

CHAPTER 04 空间解析几何 / 完整课程

曲面图谱：形状要由截面证明

不是看见平方项就猜名字。固定一个坐标，让截线告诉你形状。

1. 十类图形放在同一套坐标语言中比较 2. 柱面不一定圆：缺哪个变量，就沿哪个方向平移 3. 椭球：水平截线有一个有限的存在区间 4. 椭圆锥：半径与离顶点的高度成正比 5. 单叶与双叶：检查“中间有没有空缺高度”6. 两种抛物面：一次变量是“输出高度”7. 不标准的方程：先配方，再分类

读方程就是读约束

先找自由方向，再看符号、一次项和范围。

在三维空间里， $x^2+y^2=1$ 不限制 $z$ ，是圆柱面；加上 $z=0$ 才是坐标平面中的圆。几何对象是什么，既取决于方程，也取决于当前的环境空间。

1. 十类图形放在同一套坐标语言中比较

点击下方任一曲面，拖动截面高度。金色是 $z=k$ 的截线，右侧把同一条截线放回二维坐标中。“看上去像”只能提出猜想；二维方程决定截线究竟是椭圆、双曲线、直线、点还是空集。

INTERACTIVE / 互动推演

十类曲面 × 水平截面

先选择一个曲面族，再把 z = k 从负拖到正。右侧与三维使用同一公式；“没有截线”也是一个必须观察的结果。

LAB

水平截面 z = k0.6

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

曲面水平截面与截线

所有轴使用同一长度单位。无界曲面只画有限参数窗口；二维截线中的无界分支也截在当前坐标窗口内。边缘不是原曲面的边界。

2. 柱面不一定圆：缺哪个变量，就沿哪个方向平移

若方程为 $F(x,y)=0$ ，一个合法的 $(x,y)$ 对应任意 $z$ ，于是每个基点都沿 $z$ 轴拉成直线。这一族直线叫母线；在 $z=0$ 平面上可取准线 $F(x,y)=0$ 。

方程	准线类型	母线方向
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$	椭圆	$z$ 轴
$x^2/a^2-y^2/b^2=1$	双曲线	$z$ 轴
$z=x^2$	$xOz$ 平面中的抛物线	$y$ 轴

“缺 $y$ ”不是说 $y=0$ ，而是说 $y$ 没有受到约束。变量缺失和变量取零，是两件相反的事情。

3. 椭球：水平截线有一个有限的存在区间

设 $a,b,c>0$ ：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad\xrightarrow{z=k}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{k^2}{c^2}.

$|k|<c$ 时是椭圆，半轴分别为 $a\sqrt{1-k^2/c^2}$ 、 $b\sqrt{1-k^2/c^2}$ ； $|k|=c$ 时退化为一点； $|k|>c$ 时空集。三个方向都有边界，所以曲面封闭。 $a=b=c$ 才成为球面。

笔记中的“球面一般式”少了必要条件。

没有交叉项的二次式 $Ax^2+By^2+Cz^2+Dx+Ey+Fz+G=0$ ，要成为通常的球面，必须 $A=B=C\ne0$ ，整体约去后配方：

\left(x+\frac D2\right)^2+\left(y+\frac E2\right)^2+\left(z+\frac F2\right)^2=\frac{D^2+E^2+F^2}{4}-G.

这里 $D,E,F,G$ 指归一化后的系数。右侧大于零是球面，等于零是一个点，小于零没有实点。“三个平方项都出现”远远不够。

4. 椭圆锥：半径与离顶点的高度成正比

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\quad\xrightarrow{z=k}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}.

每个非零高度都有椭圆，半轴按 $|k|$ 线性增长； $k=0$ 缩成顶点。因为 $z$ 平方，正负高度都存在，默认是双锥。若原题是 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ，必须保留 $z\ge0$ ，不能画成上下两半。

5. 单叶与双叶：检查“中间有没有空缺高度”

单叶双曲面

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.

z=k:\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{c^2}>0.

每个高度都有椭圆， $k=0$ 最细却不收成点，所以连成一叶。标准式中唯一负号对应轴向。

双叶双曲面

\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.

z=k:\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}-1.

只有 $|k|\ge c$ 才有点。中间整段高度为空，两端从点展开成椭圆，故分成两叶。唯一正号对应两叶分离方向。

换坐标位置只会换轴向。若双叶双曲面的唯一正项是 $x^2/a^2$ ，两叶沿 $x$ 轴分开；不要仍机械画在 $z$ 轴上下。

6. 两种抛物面：一次变量是“输出高度”

椭圆抛物面：两个方向同向弯

z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.

$z\ge0$ 。水平截面 $z=k>0$ 为椭圆；轴向截面都是向上的抛物线。高度为 $k$ 时半轴按 $\sqrt{k}$ 增长，和圆锥的线性增长不同。

双曲抛物面：两个方向反向弯

z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}.

$y=0$ 截得向上抛物线， $x=0$ 截得向下抛物线。 $z=0$ 是两相交直线； $z\ne0$ 是双曲线，正负高度改变开口方向。

马鞍面不是“凹凸不规则的碗”。两个轴向截面相反的弯曲方向，正是它区别于椭圆抛物面的机制。实验中把高度从负值拖过零，注意双曲线开口如何切换。

7. 不标准的方程：先配方，再分类

例如旋转题会出现 $x^2+y^2=5z^2+4z+1$ 。配方为

x^2+y^2-5\left(z+\frac25\right)^2=\frac15.

右端为正，两个正平方项一个负平方项，是轴线为 $z$ 轴、腰部位于 $z=-2/5$ 的单叶双曲面。若右端变为零，是锥面；若归一化后右端变负，整体反号再判断双叶。分类前一定把常数侧规范化。

看图之前先预测

$x^2+y^2-z^2=-1$ 是单叶还是双叶？

展开推导

移项为 $z^2-x^2-y^2=1$ 。水平截面 $x^2+y^2=k^2-1$ 仅在 $|k|\ge1$ 存在，因此是沿 $z$ 轴的双叶双曲面。不要只看原式“两个加号、一个减号”。

CHAPTER 05 空间解析几何 / 完整课程

空间曲线：参数是协调坐标的时钟

先辨认同一个点如何同时满足两个约束，再选择参数。

1. 参数化不是随便给三个字母分别赋值 2. 球面与斜平面的交线：投影椭圆，不等于原曲线椭圆 3. 抛物面与平面相交：先配出圆，再恢复高度 4. 螺旋线：同一参数协调周期运动与线性上升 5. 参数的下一份工作：给出切向与运动速度

两种表达，同一条曲线

隐式方程筛选点，参数方程生成点。

$F=0,G=0$ 问哪些点同时落在两个曲面上； $\boldsymbol r(t)$ 用一个参数同步产生三个坐标。参数不必是时间，但要说明它的范围和覆盖了哪些分支。

1. 参数化不是随便给三个字母分别赋值

\boldsymbol r(t)=(x(t),y(t),z(t)),\qquad t\in I.

三个坐标中的参数是同一个。若把一个圆写成 $x=\cos t,y=\sin s$ ，却允许 $t,s$ 独立变化，得到的点集不再是一条圆。反过来，如果一个坐标能自由作为参数，就优先选择它：直线一般最适合；含圆或椭圆的关系适合三角参数。

INTERACTIVE / 互动推演

一条空间曲线，与它在坐标面中的影子

选择曲线与投影平面，移动参数点。观察原曲线点与影点之间的线段始终平行于被消去坐标轴。

LAB

参数位置（显示段比例）0.18

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

原空间曲线真实平面投影同一个点的投影线

三维保持等比例坐标；不同曲线切换时显示范围自动调整。球面交圆的投影可为椭圆；参数范围在本实验中明确给定。

2. 球面与斜平面的交线：投影椭圆，不等于原曲线椭圆

笔记例 2（1）

\Gamma:\begin{cases}x^2+y^2+z^2=9,\\y=x.\end{cases}

先用一次约束 $y=x$ 消去 $y$ ：

2x^2+z^2=9\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^2}{9/2}+\frac{z^2}{9}=1.

利用 $\cos^2t+\sin^2t=1$ ，选择

x=\frac3{\sqrt2}\cos t,\quad z=3\sin t,\quad y=x.

所以

\boxed{\boldsymbol r(t)=\left(\frac3{\sqrt2}\cos t,\frac3{\sqrt2}\cos t,3\sin t\right)},\qquad0\le t<2\pi.

验证： $x=y$ ；两项 $x^2+y^2=9\cos^2t$ ，再加 $z^2=9\sin^2t$ 得 9。两个方向 $(1/\sqrt2,1/\sqrt2,0)$ 、 $(0,0,1)$ 是相互垂直的单位向量，故原曲线在自身平面内是半径 3 的圆。消去 $y$ 得到的椭圆，是它在 $xOz$ 平面的投影。

3. 抛物面与平面相交：先配出圆，再恢复高度

笔记例 2（2）

\begin{cases}z=x^2+y^2,\\z=4-2x+4y.\end{cases}

两式都等于 $z$ ，故 $x^2+y^2=4-2x+4y$ 。移项、配方：

(x+1)^2+(y-2)^2=9.

令 $x=3\cos t-1,\ y=3\sin t+2$ 。求 $z$ 时代入更简单的一次式，而不是再平方展开：

z=4-2(3\cos t-1)+4(3\sin t+2)=14-6\cos t+12\sin t.

因此完整参数式为

\boxed{\boldsymbol r(t)=(3\cos t-1,3\sin t+2,14-6\cos t+12\sin t)},\quad0\le t<2\pi.

不要只给前两个坐标：它们只定位水平投影，第三坐标才能把点抬回真实的空间交线。图中保持三个坐标的等比例单位，所以这条曲线的高度变化确实大于水平宽度；不是绘图拉伸。

4. 螺旋线：同一参数协调周期运动与线性上升

x=a\cos\theta,\quad y=a\sin\theta,\quad z=b\theta,\qquad a>0,\ b\ne0.

$x,y$ 每经过 $2\pi$ 回到同一对坐标， $z$ 却变化 $2\pi b$ 。这就是一周的有向高度增量。图谱只显示有限参数段，不代表整条螺旋线在两端终止。

投影到 $xOy$ 只保留前两坐标，得到圆；投影到 $xOz$ 利用 $\theta=z/b$ ，得到 $x=a\cos(z/b)$ 。如果原参数只走短弧，投影范围也必须随之缩小，不能擅自补成整圆。

5. 参数的下一份工作：给出切向与运动速度

\boldsymbol r'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)).

导向量的方向给切向，模给相对于参数的速度。更换一个正向参数会改变长度，不改变切线；反向参数会把方向反转。切线只要求一个非零方向，不需要保留这个速度。详细的切线与法平面放到局部几何中，与曲面法向统一解释。

两曲面“相交成曲线”有正则性前提。

在一点附近两函数具有连续偏导且 $\nabla F\times\nabla G\ne0$ ，可保证局部为光滑交线。若两法向平行，交集可能是点、多条分支、切触曲线或更高维集合，不能机械使用叉积零向量作切向。

CHAPTER 06 空间解析几何 / 完整课程

旋转曲面：寻找旋转保持的量

轴向位置不变，到轴的距离不变。母线只是每个纬圆的代表点。

1. 绕坐标轴：为什么恰好出现“两平方之和”2. 平面母线：根号替换是距离替换的简写 3. 空间母线：参数化，然后只消一个参数 4. 绕一般直线：坐标公式的向量化

一个生成过程，两条不变量

旋转改变朝向，不改变半径和轴向坐标。

不要先记“把哪个字母换成根号”。先拿母线上一点，看它绕轴走出的圆落在哪个平面、半径是多少，再让所有母点都转一遍。

1. 绕坐标轴：为什么恰好出现“两平方之和”

母线点为 $M_1=(x_1,y_1,z_1)$ ，旋转后的点为 $M=(x,y,z)$ 。绕 $z$ 轴时，纬圆位于 $z=z_1$ ，半径为 $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ ，因此：

\boxed{z=z_1,\qquad x^2+y^2=x_1^2+y_1^2}.

旋转轴	轴向坐标不变	半径平方不变
$x$ 轴	$x=x_1$	$y^2+z^2=y_1^2+z_1^2$
$y$ 轴	$y=y_1$	$x^2+z^2=x_1^2+z_1^2$
$z$ 轴	$z=z_1$	$x^2+y^2=x_1^2+y_1^2$

INTERACTIVE / 互动推演

从母线的一点，到一整个纬圆

拖动旋转角，看曲面如何逐步扫出；再移动母点，比较同一纬圆上的轴向坐标与半径。右侧是经线截面，不是原母线。

LAB

已经扫过的角度 / 度270母点在显示段内的位置0.62

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

原母线已经扫出的曲面当前纬圆与旋转点

半透明曲面只显示已扫过的角度；完整方程描述旋转一周后的点集。母线与曲面都仅截取有限显示段。

2. 平面母线：根号替换是距离替换的简写

笔记例 1（1）

$xOz$ 平面中 $z^2=5x$ ，绕 $x$ 轴旋转

母点到 $x$ 轴的距离平方为 $z^2$ ，旋转后变成 $y^2+z^2$ 。轴向坐标 $x$ 不变：

\boxed{y^2+z^2=5x}.

这自动蕴含 $x\ge0$ ，是一张向 $x$ 正向开口的旋转抛物面。不能把原母线的平面条件 $y=0$ 继续附在曲面上，否则又退回了母线。

若 $yOz$ 平面内母线为 $F(y,z)=0$ ，绕 $z$ 轴，常记 $F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$ 。此处正负表示存在一个符合原母线的符号，不是要求两式同时成立。原有范围必须保留。例如射线 $y=z\ge0,x=0$ 旋转后为 $x^2+y^2=z^2,z\ge0$ ，不是双锥。

3. 空间母线：参数化，然后只消一个参数

若母线 $\boldsymbol r(t)=(x_1(t),y_1(t),z_1(t))$ ，绕 $z$ 轴所得曲面满足

\begin{cases}x^2+y^2=x_1(t)^2+y_1(t)^2,\\z=z_1(t),\end{cases}\qquad t\in I.

当 $z_1(t)$ 容易反解时，这比同时消掉三个母点坐标简单得多。若不能全局反解，就保留参数存在条件或分支；不要假设它必是一一函数。

笔记例 1（2）

$(x-1)/2=y=z$ 绕 $z$ 轴

令公同比值为 $t$ ： $x_1=1+2t,y_1=t,z_1=t$ 。于是

x^2+y^2=(1+2t)^2+t^2,\quad z=t.

代入 $t=z$ ：

\boxed{x^2+y^2=5z^2+4z+1=5(z+2/5)^2+1/5}.

最小半径为 $1/\sqrt5$ ，所以母线没有碰到轴，旋转曲面有非零的腰，是单叶双曲面。直线旋转不一定得到圆锥：直线与轴相交才有圆锥顶；平行于轴得到圆柱；与轴异面可得到单叶双曲面。

笔记例 1（3）

两平面交线绕 $y$ 轴

L:\begin{cases}x+y-2z+3=0,\\2x-y+z-1=0.\end{cases}

相加消 $y$ ： $3x-z+2=0$ ，故 $z=3x+2$ 。第一式加上两倍第二式消 $z$ ： $5x-y+1=0$ ，故 $y=5x+1$ 。选轴向坐标 $y$ 表示另两坐标：

x_1=\frac{y-1}{5},\qquad z_1=\frac{3y+7}{5}.

保留 $y$ ，把到轴距离平方相等写出来：

\boxed{x^2+z^2=\frac{(y-1)^2+(3y+7)^2}{25}}.

每个 $y\in\mathbb R$ 都在母线上找到一个代表点，因此没有额外的轴向范围限制。若题目给的是线段，必须另加对应的 $y$ 区间。

4. 绕一般直线：坐标公式的向量化

旋转轴经过 $O_0$ ，非零方向为 $\boldsymbol s$ 。母点 $M_1$ 与旋转点 $M$ 属于同一纬圆，当且仅当

\begin{cases}\boldsymbol s\cdot(M-O_0)=\boldsymbol s\cdot(M_1-O_0),\\\|M-O_0\|^2=\|M_1-O_0\|^2.\end{cases}

第一式保证沿轴的位置相同，第二式保证到轴上一固定点的距离相同；两者合起来，保证垂直轴的半径相同。再结合 $M_1$ 属于母线的方程消元。这不是新技巧，只是把“保留坐标、保持半径”改用点积和长度表达。

实验“绕斜轴”的具体母线

轴经过 $O_0=(0.3,-0.2,0.2)$ ，单位方向 $\boldsymbol s=(1,1,2)/\sqrt6$ 。取垂直它的单位向量 $\boldsymbol e=(1,-1,0)/\sqrt2$ ，母线为

\boldsymbol r(u)=O_0+u\boldsymbol s+(1+u^2/5)\boldsymbol e.

其中 $u\boldsymbol s$ 沿轴移动，后面一项从轴向外伸出，半径为 $1+u^2/5$ 。令 $\boldsymbol e_2=\boldsymbol s\times\boldsymbol e$ ，三者构成相互垂直的单位方向。旋转角为 $\theta$ 时：

X(u,\theta)=O_0+u\boldsymbol s+(1+u^2/5)(\cos\theta\,\boldsymbol e+\sin\theta\,\boldsymbol e_2).

现在从一个旋转后的点 $X$ 反求：点乘单位轴向得到 $u=\boldsymbol s\cdot(X-O_0)$ ；勾股分解给出 $\rho^2=\|X-O_0\|^2-u^2$ 。因此图中半径满足 $\rho=1+u^2/5$ ，不是把某个原坐标冒充斜轴坐标。这说明一般轴与坐标轴的区别只在选用的坐标语言，而不在旋转机制。

为什么只要求到轴上一点距离相等不够？

展开解释

只要求 $\|M-O_0\|=\|M_1-O_0\|$ ，得到的是一个球面；它允许轴向位置改变。再要求轴向投影相同，才把球面截成对应的纬圆，或者在半径为零时退化成一个点。

CHAPTER 07 空间解析几何 / 完整课程

投影Ⅰ：遗忘坐标，不遗忘存在性

点的影子、曲线的影子、投影柱面与斜平面上的正投影。

1. 一个点投到坐标面：保留哪两个坐标 2. 曲线投影：先把“某点属于影子”翻译出来 3. 投影柱面：把所有投影射线保留下来 4. 笔记第一问：先逐字翻译“母线平行于 x 轴且通过曲线”5. 同一曲线投到 xOz：这次为什么整个椭圆都合法 6. 参数曲线：先投点，再消参数，保留参数区间 7. 斜平面正投影：从所有垂足得到一条轨迹

这不是一句“消元即可”

哪个投影点背后，确实有一个原来的点？

先读题意，再决定消哪个变量，最后证明能把影子“抬回”原对象。消元只是执行工具，实数原像是否存在才是投影的定义。

1. 一个点投到坐标面：保留哪两个坐标

点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 正投影到 $xOy$ 平面，是沿着平行 $z$ 轴的直线移动，直到遇到 $z=0$ 。故影子为 $P'=(x_0,y_0,0)$ 。这是对已经存在的点做映射，不是用 $z=0$ 筛选原对象。

目标平面	正投影方向	映射	需要消的原坐标
$xOy$	$z$ 轴	$(x,y,z)\mapsto(x,y,0)$	$z$
$xOz$	$y$ 轴	$(x,y,z)\mapsto(x,0,z)$	$y$
$yOz$	$x$ 轴	$(x,y,z)\mapsto(0,y,z)$	$x$

2. 曲线投影：先把“某点属于影子”翻译出来

原曲线为 $\Gamma=\{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0\}$ 。给定平面上一点 $(x,y,0)$ ，它是不是影子，等价于：沿经过它的竖直直线，能不能碰到 $\Gamma$ ？

\boxed{(x,y,0)\in\operatorname{proj}_{xy}\Gamma\iff\exists\zeta\in\mathbb R:\ F(x,y,\zeta)=G(x,y,\zeta)=0.}

这里特意用 $\zeta$ 代表原空间点的高度，与影子在目标面上的高度 0 分开。影子高度为 0，不意味着原空间点高度也为 0。

截取：限制原空间点的高度

\Gamma\cap\{z=0\}.

先在原曲线上挑出高度恰好为零的点。这些点自己就位于目标面。

投影：允许原点有任意合法高度

\{(x,y,0):\exists\zeta,\ (x,y,\zeta)\in\Gamma\}.

所有高度的点都可以贡献影子。要消去的是原空间点的高度，而不是令它为零。

一个圆为何会被误算成一个点

螺旋线 $(a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta)$ ， $b\ne0,\theta\in\mathbb R$

投影：把每个实际点映射到 $(a\cos\theta,a\sin\theta,0)$ ，得到整圆 $x^2+y^2=a^2,z=0$ 。截取：要求原来的 $b\theta=0$ ，于是只能 $\theta=0$ ，剩下 $(a,0,0)$ 。不是投影公式失灵，而是换了一个问题。

3. 投影柱面：把所有投影射线保留下来

从曲线上每一点作平行 $z$ 轴的整条直线，它们的并集是沿 $z$ 方向的投影柱面：

C_z=\{P+t(0,0,1):P\in\Gamma,\ t\in\mathbb R\}.

因此同一对合法 $(x,y)$ 上，柱面允许任意新高度。柱面再与 $z=0$ 相交，才是坐标面内的投影：

\operatorname{proj}_{xy}\Gamma=C_z\cap\{z=0\}.

若消元的精确结果为 $H(x,y)=0$ ，在三维空间里它是不含 $z$ 的柱面；附上 $z=0$ 才成为平面曲线。如果精确结果还包含不等式，柱面同样要保留这些不等式。

INTERACTIVE / 互动推演

让消掉的坐标回来作证

选择投影方向，再移动候选影点。绿色部分可以找回实数原像，红色虚线只是消元方程的额外延长部分。

LAB

候选影点的高度 z3

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

原曲线的两支真实投影消元多出的点 / 无实数原像投影射线与候选点

本实验对应 2x² + y² + z² = 16 与 x² + z² − y² = 0 的交线。实线投影是点集相等的结果；虚线不能算进真实影子。

4. 笔记第一问：先逐字翻译“母线平行于 x 轴且通过曲线”

完整审题 · 消去 x

\Gamma:\begin{cases}2x^2+y^2+z^2=16,\\x^2+z^2-y^2=0.\end{cases}

题意。在 $\Gamma$ 上取点 $(x_1,y_1,z_1)$ ，作整条直线 $(x_1+t,y_1,z_1)$ 。母线上 $x$ 任意， $y,z$ 不变，所以要找的是合法 $(y,z)$ 的集合，故应消去 $x$ 。

计算。第二式给出 $x^2=y^2-z^2$ ，代入第一式：

2(y^2-z^2)+y^2+z^2=16\quad\Longrightarrow\quad3y^2-z^2=16.

检查能否还原。从消元方程得到 $y^2=(16+z^2)/3$ ，于是

x^2=y^2-z^2=\frac{16-2z^2}{3}.

实数 $x$ 存在当且仅当 $z^2\le8$ 。因此真实投影为

\boxed{\operatorname{proj}_{yz}\Gamma=\{(0,y,z):3y^2-z^2=16,\ |z|\le2\sqrt2\}}.

充分性也能反向验证：任取满足这两个条件的 $(y,z)$ ，令 $x=\pm\sqrt{(16-2z^2)/3}$ ，代回两个原方程都成立。必要条件＋可构造原像，才证明集合相等。

“一个包含它的柱面”与“恰好扫出的投影柱面”要分开。

$3y^2-z^2=16$ 是一个母线平行 $x$ 轴、包含 $\Gamma$ 的完整双曲柱面，因此能回答“求一个通过曲线的柱面方程”这种宽泛题意。但它有额外母线从未碰到原曲线。若题目指定真实投影或由曲线沿轴扫出的点集，应保留 $|z|\le2\sqrt2$ 。不能一面称它“精确投影柱面”，一面又把额外点默默算进去。

取反例测试点： $z=3$ ， $y=5/\sqrt3$ 满足 $3y^2-z^2=16$ ，但恢复的 $x^2=-2/3$ 。它符合消元等式，却不可能是任何实点的影子。上面的实验可以直接切到这个测试值。

5. 同一曲线投到 xOz：这次为什么整个椭圆都合法

目标是 $xOz$ 平面，所以沿 $y$ 方向投影，保留 $x,z$ ，消去 $y$ 。由第二式 $y^2=x^2+z^2$ ，代入第一式：

2x^2+(x^2+z^2)+z^2=16\quad\Longrightarrow\quad3x^2+2z^2=16.

恢复 $y=\pm\sqrt{x^2+z^2}$ 总有实数解，所以无需额外范围条件：

\boxed{\operatorname{proj}_{xz}\Gamma=\{(x,0,z):3x^2+2z^2=16\}}.

真正的差异不在“这次用了什么更巧的消元”，而在恢复坐标的根号内是否自动非负。两问必须使用同一个存在性标准。

6. 参数曲线：先投点，再消参数，保留参数区间

对 $(x(t),y(t),z(t))$ ，投到 $xOz$ 就变成 $(x(t),0,z(t))$ ，参数区间保持原样。螺旋线因 $\theta=z/b$ ，得 $x=a\cos(z/b),y=0$ 。若 $\theta\in[0,\pi]$ ，还必须有 $z/b\in[0,\pi]$ ，不论 $b$ 正负。这种写法避免区间方向颠倒。

消元时常丢掉的条件有：根号内非负、分母非零、平方前的一侧符号、参数区间、原来指定的一支。每丢一条，影子都可能被扩大。

7. 斜平面正投影：从所有垂足得到一条轨迹

目标面 $\Pi:\boldsymbol n\cdot X+D=0$ ，原直线 $P(t)=P_0+t\boldsymbol\tau$ 。每一点的垂足为

Q(t)=P(t)-\frac{\boldsymbol n\cdot P(t)+D}{\|\boldsymbol n\|^2}\boldsymbol n.

展开并按常数项和 $t$ 项分组：

Q(t)=Q_0+t\boldsymbol\tau_\Pi,\qquad\boldsymbol\tau_\Pi=\boldsymbol\tau-\frac{\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol n}{\|\boldsymbol n\|^2}\boldsymbol n.

若 $\boldsymbol\tau_\Pi\ne0$ ，影子是一条直线；若为零，原线沿法向，所有点落到同一个垂足，投影退化成点。

为什么教材构造“过原直线且垂直目标面的辅助平面”？

原线方向 $\boldsymbol\tau$ 与所有投影线方向 $\boldsymbol n$ 张成这个平面，它的法向为 $\boldsymbol\tau\times\boldsymbol n$ 。目标面与辅助面的交线就是影子。这其实是“投影柱面”在母曲线恰好为直线时退化成了一个普通平面。

叉积为零时辅助面不能这样唯一确定，应按投影退化为点处理。用平面束 $\lambda F+\mu G=0$ 求辅助面是同一做法的另一种代数表达。

完整数值综合题与它后续的旋转过程，见第 11 单元。这里先把“投每一点”“投方向分量”“构造辅助面”认成同一个机制。

CHAPTER 08 空间解析几何 / 完整课程

投影Ⅱ：立体的影子与真实边界

固定保留下来的坐标，检查沿探针方向有没有一段合法区间。

1. 先读题：两个曲面到底围出了哪一块 2. 投到 xOy：固定 x、y，寻找合法的高度 z 3. 投到 xOz：固定 x、z，寻找合法的 y 4. 投到 yOz：固定 y、z，寻找合法的 x 5. 截面不是投影：同一个立体，还能从水平切片读懂 6. 为什么这套思想直接决定后面的积分限

从曲线到区域，原理不变

曲线用等式，立体用不等式；两者都在问“存在吗”。

不要先找交线再机械填色。投影边界还可能来自曲面轮廓。先把立体准确写成点集，再沿每个方向检验一条直线是否能碰到它。

1. 先读题：两个曲面到底围出了哪一块

题目：求 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z^2=2x$ 围成的有界立体在三个坐标面上的投影。

第一个曲面是上半圆锥面，不是整个双锥；第二个不含 $y$ ，是母线平行 $y$ 轴的抛物柱面。交线满足 $x^2+y^2=z^2=2x$ ，从上方看得到圆 $(x-1)^2+y^2=1$ ，但这只是边界线索，还没有说明内部。

在圆内部选 $(x,y)=(1,0)$ ：圆锥高度是 1，柱面正支高度是 $\sqrt2$ 。围出的有界部分位于圆锥上方、柱面正支下方。因此

\boxed{\Omega=\{(x,y,z):\sqrt{x^2+y^2}\le z\le\sqrt{2x}\}}

或者无根号地写为

\boxed{x^2+y^2\le z^2\le2x,\qquad z\ge0.}

这里选择哪一侧不是小事。若把两侧不等式反过来，通常会描述另一块无界区域。先完成题意的集合翻译，后面才能谈投影。

INTERACTIVE / 互动推演

一根探针，读出投影与原像区间

点击右侧平面图，选一个候选影点。三维金线是对应探针，绿色粗段是探针真正落在立体内的部分。切换三种投影，或改看固定高度的截面。

LAB

切片高度 k1.15

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

圆锥边界抛物柱面边界 / 交线探针 / 截面合法原像区间没有实数原像

xOy · 圆盘

xOz · 两种边界

yOz · 四次曲线区域

显示的是精确有界部分 Ω：x² + y² ≤ z² ≤ 2x，z ≥ 0。投影图的面积填充属于影子，不是把交线误画成区域。“外围曲面”为两原曲面的有限片段，淡色背景不属于所围立体。

2. 投到 xOy：固定 x、y，寻找合法的高度 z

一根竖直探针经过 $(x,y,0)$ 。它碰到立体，等价于区间

\left[\sqrt{x^2+y^2},\sqrt{2x}\right]

是实数中的非空区间。下界不能超过上界：

x^2+y^2\le2x\quad\Longleftrightarrow\quad(x-1)^2+y^2\le1.

这个条件自动保证 $x\ge0$ ，所以右侧根号也合法。故二维坐标域为

\boxed{D_{xy}=\{(x,y):(x-1)^2+y^2\le1\}}.

这是圆盘，不是圆周。中心 $(1,0)$ 虽不在交线投影上，但探针与立体相交于高度区间 $[1,\sqrt2]$ ，因此一定有影子。若要求三维坐标中的投影点集，再附上 $z=0$ 。

3. 投到 xOz：固定 x、z，寻找合法的 y

原不等式中，关于 $y$ 的部分为

y^2\le z^2-x^2.

存在实数 $y$ 当且仅当 $z^2-x^2\ge0$ 。还要保留与 $y$ 无关的两条约束： $z^2\le2x$ 、 $z\ge0$ 。前者推出 $x\ge0$ ，故 $z^2\ge x^2$ 可以等价写成 $z\ge x$ 。于是

x\le z\le\sqrt{2x}.

上下界非空又要求 $x\le\sqrt{2x}$ ，即 $0\le x\le2$ 。因此

\boxed{D_{xz}=\{(x,z):0\le x\le2,\ x\le z\le\sqrt{2x}\}}.

当 $(x,z)$ 位于区域内，原像不是只有一个点，而是一整段：

-\sqrt{z^2-x^2}\le y\le\sqrt{z^2-x^2}.

在下边界 $z=x$ 上，这段收缩为 $y=0$ 一个点；在上边界 $z^2=2x$ 上，探针沿柱面的母线接触边界，并不必收缩成点。投影边界不等于“原像只能有一个点”。

为什么只投影两曲面的交线会漏边？

交线投到 $xOz$ 只给出 $z=\sqrt{2x}$ ，也就是上边界。下边界 $z=x$ 来自圆锥自身沿 $y$ 方向的轮廓： $y=0,x\ge0$ 时圆锥高度最低。对于固定 $x$ ，再向下就找不到任何 $y$ 能让点留在圆锥内部。

因此“先投交线，再填里面”在这一方向甚至没有给出一条闭合轮廓，不能当成通法。

4. 投到 yOz：固定 y、z，寻找合法的 x

从 $z^2\le2x$ 得 $x\ge z^2/2\ge0$ 。由 $x^2+y^2\le z^2$ 得 $x^2\le z^2-y^2$ ，结合 $x\ge0$ ，可取的区间是

\frac{z^2}{2}\le x\le\sqrt{z^2-y^2}.

所以“存在 $x$ ”等价于根号合法且下界不超过上界。因为左边非负，平方后不会改变符号分支：

\frac{z^4}{4}\le z^2-y^2\quad\Longleftrightarrow\quad y^2\le z^2-\frac{z^4}{4}.

右侧必须非负，而原题有 $z\ge0$ ，故 $0\le z\le2$ 。最后得到

\boxed{D_{yz}=\left\{(y,z):0\le z\le2,\ y^2\le z^2-\frac{z^4}{4}\right\}}.

等价形式为 $y^2+(z^2/2-1)^2\le1,z\ge0$ 。这不是椭圆：其中 $z^2/2-1$ 对 $z$ 是二次式，而不是线性平移。宽度从 $z=0$ 的零开始， $z=\sqrt2$ 时达到 $|y|\le1$ ，再在 $z=2$ 收缩为零。

这次两曲面交线的投影恰好给出完整边界：代入 $x=z^2/2$ ，得 $y^2=z^2-z^4/4$ 。这是此方向的具体结论，不是上一个方向也成立的普遍规则。

5. 截面不是投影：同一个立体，还能从水平切片读懂

令原立体中 $z=k$ ，要求 $0\le k\le2$ ，截面满足

x^2+y^2\le k^2,\qquad x\ge\frac{k^2}{2}.

它是圆盘右侧被竖直弦切下的一块圆弓形，不是完整圆盘。圆弧来自圆锥，直线弦来自抛物柱面。实验的“水平切片”模式可以把这两种边界同时放回三维实体。

同样地，固定 $x=c$ 时截面满足 $|y|\le\sqrt{2c-c^2}$ ，以及 $\sqrt{c^2+y^2}\le z\le\sqrt{2c}$ 。固定坐标得到截面；允许该坐标取任意合法值并消去，才得到投影。

6. 为什么这套思想直接决定后面的积分限

无需计算积分，本立体已经能写出两种等价的三重积分区域描述：

\iiint_\Omega 1\,dV=\iint_{D_{xy}}\left(\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2x}}1\,dz\right)dx\,dy.

\iiint_\Omega 1\,dV=\int_0^2\int_x^{\sqrt{2x}}\left(\int_{-\sqrt{z^2-x^2}}^{\sqrt{z^2-x^2}}1\,dy\right)dz\,dx.

外面的二维区域是影子，里面的上下限是影子每个点对应的原像区间。投影与内层积分限本来就是同一次存在性分析的两份结果。如果只会画外轮廓，却不知道内层区间从哪里来，就还没有读懂立体。

你真正应该练成的三句话

“固定哪两个坐标？”“剩下的坐标能取哪些值？”“这个取值集合什么时候非空？”每换一次积分次序或投影方向，就重新回答这三句。

CHAPTER 09 空间解析几何 / 完整课程

局部几何：把曲的对象线性化

曲线抓切向量；曲面抓法向量。四类方程回到两种模板。

梯度与法向关系的完整推导

本单元给出局部几何的统一模板。第 10 单元从输入空间与函数图面的区别出发，逐层推导方向导数、等值线法向、图面切向和图面法向，并用三联图核对。进入梯度与法向的完整辨析 →

1. 参数曲线的导向量为什么是切向量 2. 隐式曲面：梯度为什么垂直所有切向 3. 显式图面：全微分本身就在写切平面 4. 两曲面交线：法向的叉积就是切向 5. 标准公式失效，不等于切对象必不存在

全章与微分在这里合流

切线与切平面，不是几何新规则，而是一阶近似。

先得到一个可靠的非零方向，再套已经理解的直线或平面方程。不能只背四个相似分式，却不清楚哪个向量沿着对象，哪个向量垂直对象。

原对象	关键向量	用作直线方向	用作平面法向
曲线	切向 $\boldsymbol\tau$	切线	法平面
曲面	法向 $\boldsymbol n$	法线	切平面

1. 参数曲线的导向量为什么是切向量

设 $\boldsymbol r(t)$ 可导， $M_0=\boldsymbol r(t_0)$ 。一阶展开为

\boldsymbol r(t_0+h)-\boldsymbol r(t_0)=h\boldsymbol r'(t_0)+o(|h|).

主要位移沿 $\boldsymbol r'(t_0)$ 发生，因此当 $\boldsymbol r'(t_0)\ne0$ 时，它给出切向量。切线和法平面分别是

\boxed{M=M_0+s\boldsymbol r'(t_0)},\qquad\boxed{\boldsymbol r'(t_0)\cdot(M-M_0)=0}.

这里直线参数用 $s$ ，不与原曲线参数 $t$ 混用。若曲线给成 $y=\varphi(x),z=\psi(x)$ ，把 $x$ 当参数，切向为 $(1,\varphi'(x_0),\psi'(x_0))$ 。首分量来自 $dx/dx=1$ ，不是规定或猜测。

INTERACTIVE / 互动推演

四个名称，只由两个向量角色区分

曲面模式看法向决定切平面与法线；曲线模式看切向决定切线与法平面；交线模式看两个面法向的叉积。

LAB

点位置参数 a / t0.75

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

原曲面 / 曲线切对象法向 / 法对象

蓝色直线或平面是局部线性模型，不代表与原对象全局重合。两曲面交线模式采用球面 x²+y²+z²=9 与平面 y=x。

有零分量时，用参数式

$\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t,t)$ 在 $t=0$

$M_0=(1,0,0)$ ， $\boldsymbol\tau=(0,1,1)$ 。切线是 $x=1,y=s,z=s$ ；法平面是 $y+z=0$ 。写成 $(x-1)/0=y=z$ 只会把几何关系变成不合法的分式。

2. 隐式曲面：梯度为什么垂直所有切向

设 $\Sigma:F(x,y,z)=0$ ， $F$ 在点附近有连续偏导且 $\nabla F(M_0)\ne0$ 。在曲面上任取通过 $M_0$ 的光滑曲线 $\boldsymbol r(t)$ ，恒有 $F(\boldsymbol r(t))=0$ 。链式法则给

F_x x'(t_0)+F_y y'(t_0)+F_z z'(t_0)=\nabla F(M_0)\cdot\boldsymbol r'(t_0)=0.

所以梯度垂直于各切向，正是曲面的法向量。切平面为

\boxed{F_x(M_0)(x-x_0)+F_y(M_0)(y-y_0)+F_z(M_0)(z-z_0)=0}.

法线为 $M=M_0+s\nabla F(M_0)$ 。三个偏导数都要先在指定点取值，第三项配的是 $z-z_0$ ，不是笔记中一处误写的 $y-y_0$ 。

3. 显式图面：全微分本身就在写切平面

若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微， $z_0=f(x_0,y_0)$ ，则

\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o\!\left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right).

舍去高阶误差，得到

\boxed{z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}.

也可令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ ，法向为 $(f_x,f_y,-1)$ ；反向 $(-f_x,-f_y,1)$ 同样有效。即使 $f_x=f_y=0$ ，法向仍非零，只是切平面变成水平面。

把全微分的误差看见

实验图面 $z=(x^2+y^2)/2$ ，点 $(a,b,(a^2+b^2)/2)$

切平面为 $z=ax+by-(a^2+b^2)/2$ 。让 $x=a+u,y=b+v$ ，实际高度与切平面高度之差恰为

\frac{(a+u)^2+(b+v)^2}{2}-\left[\frac{a^2+b^2}{2}+au+bv\right]=\frac{u^2+v^2}{2}.

距离缩小一半，误差缩小到四分之一。这解释了“局部越近，平面近似越准”，而不是只靠图像看上去贴合。

4. 两曲面交线：法向的叉积就是切向

\Gamma:\ F=0,\ G=0\quad\Longrightarrow\quad\boldsymbol\tau=\nabla F(M_0)\times\nabla G(M_0).

要求两个函数在邻域中有连续偏导，且这个叉积非零。交线切向同时在两个切平面中，所以垂直于两个法向。两平面的交线公式只是这里 $F,G$ 均为一次函数的特例。

曲线与两个面的方向同时对照

$x^2+y^2+z^2=9$ 、 $y-x=0$ ，点 $(0,0,3)$

\nabla F=(0,0,6),\quad\nabla G=(-1,1,0),\quad\nabla F\times\nabla G=(-6,-6,0).

可取切向 $(1,1,0)$ ，切线为 $x=s,y=s,z=3$ ，法平面为 $x+y=0$ 。注意法平面与两个曲面的切平面不是同一概念。

5. 标准公式失效，不等于切对象必不存在

把单位球面写成 $F=(x^2+y^2+z^2-1)^2=0$ ，球面上处处有 $\nabla F=0$ ，但球面当然有切平面。原因是这个定义函数把一阶信息平方抹掉了；换回 $x^2+y^2+z^2-1$ 就恢复有效法向。

同理 $\boldsymbol r(t)=(t^3,0,0)$ 在 0 的导向量为零，却描述 $x$ 轴。非零条件保证公式能直接给方向；条件不满足只能说这条捷径没有给出答案，还要另行分析参数或几何集合。

CHAPTER 10 深读单元 · 与第 09 单元的局部几何贯通

梯度、方向导数与法向量
同一份一阶信息，不同的几何角色

先辨认对象与空间，再推导变化率。把“为什么这样算”与“这个箭头究竟画在哪里”放在一起。

本节的钥匙

先问“谁的梯度”，
再问“垂直于谁”。

一个二元函数的梯度在输入平面；若用梯度求它的三维图面法向，应对另一个三元函数求梯度。两者不是换个名字，而是换了函数、空间和用途。

① 一份线性近似

df_P(\boldsymbol h)=\nabla f(P)\cdot\boldsymbol h

② 指定单位方向

D_{\boldsymbol e}f(P)=df_P(\boldsymbol e)

③ 限制函数值不变

df_P(\boldsymbol t)=0\quad\Longrightarrow\quad \nabla f(P)\perp\boldsymbol t

本节以通常的欧氏距离、正交单位坐标轴为准。“点积公式”的保证条件是可微；涉及梯度方向、单位化时，还需梯度非零。

手机阅读：长公式与对照表可左右滑动；三维图可拖动，缩放可用＋／−按钮。

01　先把三个对象摆开：输入点、函数值、图面点

先看一个具体函数，不先背“最陡方向”：设 $f(x,y)=\tfrac12(x^2+y^2)$ 。输入两个数 $x,y$ ，输出一个数 $f(x,y)$ 。把这个数画成高度，才得到三维图面 $z=f(x,y)$ 。

输入空间 · 二维

人在这里选方向

P=(1,1),\qquad \boldsymbol e=(e_x,e_y)

$P$ 是地面位置。 $\boldsymbol e$ 描述在这个平面里往哪里走；求本函数的方向导数时，方向只有两个分量。

输出 · 一个数

函数给出一个读数

f(P)=1

它可以是高度，也可以是温度。数值本身不是空间点，更不是方向向量。

图面空间 · 三维

把读数抬成高度

M=(1,1,1)

$M=(P,f(P))$ 是图面上的点。图面切向、图面法向都必须有三个分量。

“函数有两个自变量”和“函数图面画在三维空间里”并不矛盾。多出的第三个坐标，是把输出值放进去。三维画法不会凭空给二元函数增加一个独立自变量。

对象	它属于哪里	回答什么问题
$\nabla f(P)=(f_x(P),f_y(P))$	输入平面中的向量	可微时，编码每个输入方向的一阶变化率。
$D_{\boldsymbol e}f(P)$	一个有正负的数	在输入平面沿单位方向 $\boldsymbol e$ ，每单位距离变化多少？
$\boldsymbol\tau_{\boldsymbol e}=(e_x,e_y,D_{\boldsymbol e}f(P))$	图面上的三维切向量	输入沿 $\boldsymbol e$ 移动后，抬到图面上的轨迹如何前进？它一般不是单位向量。
$\boldsymbol n=(-f_x(P),-f_y(P),1)$	图面的三维法向量	哪个方向垂直于图面在 $M$ 处的整个切平面？

第一次出现的符号，先不要求背

$\nabla$ 读作 nabla； $\nabla f$ 也写作 $\operatorname{grad}f$ 。 $f_x,f_y$ 是偏导数。下文把 $\boldsymbol e$ 固定用作单位输入方向， $\boldsymbol v$ 用作速度， $\boldsymbol\tau$ 用作图面切向， $\boldsymbol n$ 用作法向；点、数、向量不混用。

02　方向导数的分母，究竟是哪一段长度？

给定输入点 $P=(x_0,y_0)$ 和单位方向 $\boldsymbol e=(e_x,e_y)$ ，即 $e_x^2+e_y^2=1$ 。沿它走距离 $h>0$ ，输入点变为

P_h=P+h\boldsymbol e=(x_0+he_x,y_0+he_y).

此时函数值的实际改变为 $\Delta f=f(P_h)-f(P)$ 。平均每走一单位输入距离，函数值改变 $\Delta f/h$ 。把步长缩小到零，才得到方向导数：

\boxed{D_{\boldsymbol e}f(P)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(P+h\boldsymbol e)-f(P)}{h},\qquad \|\boldsymbol e\|=1.}

这里用你笔记中“沿射线”的单侧定义。有的教材用 $h\to0$ 的双侧定义；函数可微时两者相同。非可微时必须按题目约定处理，不能擅自换定义。

为什么需要单位向量？

因为 $\|P_h-P\|=h\|\boldsymbol e\|=h$ 。只有这样，分母 $h$ 才真是走过的输入距离。换成 $\boldsymbol v=(2,0)$ ，参数增加 $h$ 实际走了 $2h$ ，直接除以 $h$ 就把速度也算进去了。

有向导数为什么会是负数？

距离 $h>0$ ，但 $\Delta f$ 可以为负。朝某方向走、读数下降，方向导数就为负。负的是变化率，不是走过的距离。在可微条件下，反向走满足 $D_{-\boldsymbol e}f=-D_{\boldsymbol e}f$ 。

先从定义算一次

同一个函数，沿 x 轴正向

取 $f=\tfrac12(x^2+y^2)$ 、 $P=(1,1)$ 、 $\boldsymbol e=(1,0)$ 。原读数 $f(P)=1$ 。移动后的读数是

f(1+h,1)=\tfrac12\big[(1+h)^2+1\big]=1+h+\tfrac12h^2.

\Delta f=h+\tfrac12h^2,\qquad \frac{\Delta f}{h}=1+\tfrac12h\longrightarrow1.

$h=0.4$ 时平均变化率是 $1.2$ ，而这一点的瞬时变化率是 $1$ 。实际有限步长的差商，不等于方向导数本身。这正是下面三联图要分别显示的两个量。

03　梯度为什么由偏导数组成？不是拼凑，而是线性近似被两个坐标方向确定

“可微”的核心含义是：在 $P$ 附近，存在一个对输入位移的线性规则 $L$ ，使它预测的函数改变量与实际改变量之差，比位移长度更小一阶。

f(P+\boldsymbol h)-f(P)=L(\boldsymbol h)+r(\boldsymbol h),\qquad \frac{r(\boldsymbol h)}{\|\boldsymbol h\|}\longrightarrow0.

这里 $\boldsymbol h=(\Delta x,\Delta y)$ 是任意小位移； $r$ 是误差，不是另一个参数。上面的极限要求任意方式接近零都成立，不只是沿某条固定直线。

先沿两个坐标方向试探

沿 $(1,0)$ 的单位输入变化率是 $f_x(P)$ ，沿 $(0,1)$ 的是 $f_y(P)$ 。所以线性规则必须满足 $L(1,0)=f_x(P)$ 、 $L(0,1)=f_y(P)$ 。

任意位移都由这两个方向组合

\boldsymbol h=\Delta x(1,0)+\Delta y(0,1).

由于 $L$ 线性，它对组合的读数也按同样系数组合：

L(\boldsymbol h)=f_x(P)\Delta x+f_y(P)\Delta y.

用一个向量保存两个系数

\boxed{\nabla f(P)=(f_x(P),f_y(P)),\qquad df_P(\boldsymbol h)=\nabla f(P)\cdot\boldsymbol h.}

$df_P$ 叫作在 $P$ 处的微分：它是“输入一个位移、输出一个线性预测值”的规则。梯度是这个规则在正交单位坐标下的向量表示。

现在把位移取成 $\boldsymbol h=h\boldsymbol e$ 。由于 $\|\boldsymbol e\|=1$ ，误差满足 $r(h\boldsymbol e)/h\to0$ 。于是

\frac{f(P+h\boldsymbol e)-f(P)}h=\nabla f(P)\cdot\boldsymbol e+\frac{r(h\boldsymbol e)}h\longrightarrow \nabla f(P)\cdot\boldsymbol e.

\boxed{D_{\boldsymbol e}f(P)=\nabla f(P)\cdot\boldsymbol e.}

这一句贯通机制

偏导数是两个基准读数；梯度保存它们；方向导数按方向取出读数。

不是先凭图猜“梯度最陡”，再强行解释公式。是先由可微得到统一的线性规律，最陡方向与法向关系随后都由点积推出。

实验 A

输入、图面、方向剖面：把三个视角接起来

按四个步骤逐层打开。转动方向，再缩小步长；看实际曲线怎样接近切线，而不是把两者当成一条线。

输入方向角 θ（相对 +x）15输入步长 h0.35

f(x,y)=\tfrac12(x^2+y^2),\quad P=(x_0,y_0),\quad f(P+s\boldsymbol e)=f(P)+s(x_0e_x+y_0e_y)+\tfrac12s^2.

三维图面：输入点 P 与图面点 M拖动旋转 · Shift / 右键平移 · 滚轮或按钮缩放

输入平面：方向在这里选择紫色是真实梯度 g=(1,1)，蓝色 e 的长度为 1

方向剖面：把弯曲和坡度单独拿出来横坐标 s 为有向输入距离，纵坐标 z 为高度

当前状态

函数图面 / 精确剖面输入梯度 g单位输入方向 e图面切向 τ / 线性预测图面法向 nP → M：输出被画成高度

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

先用默认点读懂关系，再切到 $P=(1,0.5)$ ：这时 $f_x=1,f_y=0.5$ 。沿 $x$ 与 $y$ 方向的斜率不再一样；梯度方向也不再平分两个坐标轴。实验随点同步改动读数、等值线、切向与法向，而不是只换箭头标签。

别把这三者都叫“变化量”	定义 / 计算	主例中的精确值
实际增量 $\Delta f$	$f(P+h\boldsymbol e)-f(P)$	$h(e_x+e_y)+\tfrac12h^2$
微分的预测值 $df_P(h\boldsymbol e)$	$h\nabla f(P)\cdot\boldsymbol e$	$h(e_x+e_y)$
方向导数 $D_{\boldsymbol e}f(P)$	$\lim_{h\to0^+}\Delta f/h$	$e_x+e_y$

主例误差恰为 $h^2/2$ ，所以步长减半，增量预测误差变为原来的四分之一；但差商误差是 $h/2$ ，只变为一半。这两个收敛速度不要混为一谈。

04　一个点积，为什么能读出“最快、最慢、瞬时不变”？

先固定点 $P$ ，梯度 $\boldsymbol g=\nabla f(P)$ 就固定了。改变的是单位方向 $\boldsymbol e$ 。当 $\boldsymbol g\ne\boldsymbol0$ 时，设它们的夹角为 $\varphi$ ，点积公式给出

D_{\boldsymbol e}f(P)=\|\boldsymbol g\|\cos\varphi.

方向导数就是梯度在单位方向上的有向投影数值。注意：它是投影的数值，不是投影向量；投影向量应为 $(\boldsymbol g\cdot\boldsymbol e)\boldsymbol e$ 。输入方向换成反向，投影的符号也跟着反转。

最快增加

\boldsymbol e=\frac{\boldsymbol g}{\|\boldsymbol g\|},\qquad D_{\boldsymbol e}f=\|\boldsymbol g\|

最快减少

\boldsymbol e=-\frac{\boldsymbol g}{\|\boldsymbol g\|},\qquad D_{\boldsymbol e}f=-\|\boldsymbol g\|

一阶不变

\boldsymbol e\perp\boldsymbol g,\qquad D_{\boldsymbol e}f=0

“最大”比较的是同一点、相同的单位输入距离、不同的方向，不是比较附近哪个点的函数值最高。若允许方向向量随便放大，变化率也能随速度放大，这个最大值问题就失去了原来的意义。

实验 B

转动单位方向，读出一整圈变化率

左图不是函数图面，而是自由向量的对照图：把梯度与单位方向平移到同一个原点。右图把每个方向对应的标量变化率展开。

方向角 θ（度）25

D_{\boldsymbol e}f(P)=\boldsymbol g\cdot\boldsymbol e,\qquad \boldsymbol e=(\cos\theta,\sin\theta).

向量空间：单位圆上的每一点代表一种方向g 在 e 方向上的有向投影，可能为正，也可能为负

方向角 θ → 一个方向导数横坐标为角度，不是空间坐标；纵坐标是一个数

梯度 g（真实长度）单位方向 e有向投影 (g·e)e真实方向读数

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

把“方向”和“快慢”拆开记

$\boldsymbol g/\|\boldsymbol g\|$ 告诉你该往哪走； $\|\boldsymbol g\|$ 告诉你最大升高速率。梯度自身一般不是单位向量。若 $\boldsymbol g=0$ ，所有方向导数均为零（前提是可微），没有唯一的最快方向，更不能给零向量指定一个方向。

05　梯度究竟垂直谁？从等值线到图面法向，逐层推出来

第一层： $\nabla f$ 垂直输入平面里的等值线

等值线 $f(x,y)=c$ 是函数值相同的一批输入位置，它在 $xOy$ 平面里。不要把它和整个三维图面混为一谈。主例经过 $P=(1,1)$ 的等值线为 $x^2+y^2=2$ ，是一条圆。

设在该等值线上走一条光滑路径 $\boldsymbol\gamma(s)=(x(s),y(s))$ ，经过 $P$ 。由于一路读数都等于 $c$ ，有

f(\boldsymbol\gamma(s))\equiv c\quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{ds}f(\boldsymbol\gamma(s))=0.

链式法则把左边展开为

f_x(P)x'(s_0)+f_y(P)y'(s_0)=\nabla f(P)\cdot\boldsymbol\gamma'(s_0)=0.

因此非零梯度垂直等值线切向。若 $f$ 在点附近有连续的一阶偏导数（记为 $C^1$ ），且梯度非零，等值线在该点附近是正则曲线，其切向可以取 $(-f_y,f_x)$ ，法向可以取 $(f_x,f_y)$ 。不是“图长得像垂直”，而是“保持读数不变”强制点积为零。

第二层：图面上的切向必须增加“高度变化”这一分量

输入按单位方向 $\boldsymbol e$ 走 $P+s\boldsymbol e$ 。把每个输入点抬到函数图面上，得到三维轨迹

\boldsymbol R(s)=\big(x_0+se_x,\ y_0+se_y,\ f(P+s\boldsymbol e)\big).

对 $s$ 求导，在 $s=0$ 得到

\boxed{\boldsymbol R'(0)=\boldsymbol\tau_{\boldsymbol e}=(e_x,e_y,D_{\boldsymbol e}f(P)).}

前两个分量是输入怎样移动；第三个分量是函数值随之怎样改变。特别地，沿两个坐标方向得到两条基本切向：

\boldsymbol r_x=(1,0,f_x),\qquad \boldsymbol r_y=(0,1,f_y).

它们张成切平面。一般方向的切向正好是 $e_x\boldsymbol r_x+e_y\boldsymbol r_y$ 。这和全微分的线性组合是同一件事。

第三层：同时垂直所有图面切向，才配叫图面法向

取 $\boldsymbol n=(-f_x,-f_y,1)$ ，可以直接核验：

\boldsymbol n\cdot\boldsymbol r_x=-f_x+f_x=0,\qquad \boldsymbol n\cdot\boldsymbol r_y=-f_y+f_y=0.

对任意单位输入方向也一样：

\boxed{\boldsymbol n\cdot\boldsymbol\tau_{\boldsymbol e}=-f_xe_x-f_ye_y+D_{\boldsymbol e}f(P)=0.}

因此 $\boldsymbol n$ 是图面法向。相反，把二维梯度补一个零变成 $(f_x,f_y,0)$ ，只是把它放在三维空间的水平面里，不会自动获得“垂直图面”的资格。

用一个点积击破混淆

主例在 $P=(1,1)$ 有 $\nabla f=(1,1)$ 。图面沿 $x$ 方向的切向为 $\boldsymbol r_x=(1,0,1)$ 。如果把 $(1,1,0)$ 当作图面法向，就会得到

(1,1,0)\cdot(1,0,1)=1\ne0.

它连这一条切向都不垂直，所以肯定不是图面法向。正确法向为 $(-1,-1,1)$ ，在图面点 $M=(1,1,1)$ 的切平面是

-(x-1)-(y-1)+(z-1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad z=x+y-1.

第四层：图面法向也能叫“梯度”，但那是另一个函数的梯度

把图面 $z=f(x,y)$ 改写为 $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0$ 。这时 $F$ 接收三个独立输入，因此

\boxed{\nabla F=(-f_x,-f_y,1).}

求 $F_z$ 时， $x,y$ 固定， $z$ 是独立变量，故 $F_z=1$ 。不是把图面约束先代回 $F\equiv0$ ，再说“所有偏导都为零”；偏导数是在周围三维空间求的，随后才在图面上的点取值。

二元场 $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$

\nabla f=(f_x,f_y)

它是输入平面的向量，法向对象是 $f(x,y)=c$ 这条平面等值线。

三元场 $F:\mathbb R^3\to\mathbb R$

\nabla F=(-f_x,-f_y,1)

它是三维空间的向量，法向对象是 $F(x,y,z)=0$ 这个三维等值面，也就是原来的图面。

也可以取 $H=f(x,y)-z$ ，此时 $\nabla H=(f_x,f_y,-1)=-\nabla F$ 。两者方向相反，但都垂直同一个切平面，所以两种写法都对。法向只确定一条无向直线，不天然规定“向上”或“向下”。

把“既最快又垂直”的矛盾彻底拆开

沿图面往高处走，与沿图面法向离开，是两种运动

对于 $F(x,y,z)=z-f(x,y)$ ， $F$ 测的不是原函数高度，而是当前空间点的高度与其正下方对应图面高度的差。在图面上，这个差恒为零。

沿输入梯度方向走，并随时把高度调成 $z=f(x,y)$ ，是在图面上爬升：高度 $f$ 增长，但 $F$ 始终为零。沿图面的法向走，则一般会离开图面：增长的是这个高度差 $F$ ，不是在约束 $F=0$ 内爬升。

主例在 $M=(1,1,1)$ 有 $\nabla F=(-1,-1,1)$ 。令单位法向 $\widehat{\boldsymbol n}=(-1,-1,1)/\sqrt3$ ，则

D_{\widehat{\boldsymbol n}}F(M)=\|\nabla F(M)\|=\sqrt3.

而对图面上的任何单位切向 $\widehat{\boldsymbol\tau}$ ，都有 $D_{\widehat{\boldsymbol\tau}}F(M)=0$ 。“沿梯度最快增加”始终成立于被求梯度的那个函数；换了函数，所谓“增加”测的就不是同一个量。

实验 C

同一几何对象，为什么“梯度”与“法向”不能随便互换？

先在二元函数的三维图面上核对两个切向与法向；再换定义函数，观察曲面不动而梯度改变。切到三元场时，三维球面是等值面，不是四维函数图像。

F_{\rm graph}(x,y,z)=z-\tfrac12(x^2+y^2),\qquad F_{\rm sphere}(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2.

局部放大：法向必须垂直整个切平面拖动旋转 · Shift / 右键平移 · 滚轮或按钮缩放

对应的输入等值集平面圆 / 球面的经过原点与基点的截面

图面或等值球面切平面的基本切向所选定义函数梯度的单位方向错误候选：水平补零，不是图面法向方程失效时，参考几何法向

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

三维图投到屏幕上，空间直角未必看起来仍为 $90^\circ$ 。在实验中切换“右图：法向剖面”，就沿输入梯度方向竖直切开图面：这张等比例的二维图同时包含图面切向与法向，两根单位箭头真正画成直角。主例剖面的切向为 $(1,\sqrt2)$ ，法向为 $(-\sqrt2,1)$ ，点积恰好抵消为零。这里的第一个坐标是输入方向上的距离 $s$ ，不是把三维向量凭空丢掉一个分量。

“梯度的长度”不能随便改；“法向量的长度”可以

同一函数在同一点的梯度是确定的，它的长度编码变化率。将定义函数换为 $3F$ ，梯度变成 $3\nabla F$ ，等值面 $F=0$ 却没变。因此作为几何法向可任取非零倍数；作为某个指定函数的梯度就不能随意倍乘。

更极端地， $K=F^2$ 与 $F$ 的零集合相同，但在 $F=0$ 上 $\nabla K=2F\nabla F=0$ 。几何曲面仍有法向，只是这个定义函数在该处抹掉了一阶信息。实验可切到这个模式核对。

笔记里的“grad z”为什么容易误导？

当书上写 $z=f(x,y)$ 并记 $\operatorname{grad}z=(f_x,f_y)$ ，实际是把 $z$ 当作依赖 $x,y$ 的函数值，求输入平面的梯度。若在三维空间把 $z$ 当作独立坐标函数 $(x,y,z)\mapsto z$ ，那么 $\nabla_{x,y,z}z=(0,0,1)$ 。二者不是矛盾，而是函数及其输入空间不同。写成 $\nabla_{x,y}f$ 和 $\nabla_{x,y,z}F$ 最不容易误会。

06　沿等值线切向，为什么导数为零，却仍可能越走越高？

这里混淆的是沿切线走与沿等值线本身走。两条路线在出发点可有相同的切向，但走开以后就分离了。方向导数只读出发瞬间的一阶变化，不负责描述整条路线。

仍取主例 $P=(1,1)$ ，等值线是圆 $x^2+y^2=2$ 。取单位切向 $\boldsymbol e=(-1,1)/\sqrt2$ ，它与梯度 $(1,1)$ 垂直。比较两条都以单位速度出发的路线：

A. 不转弯，沿切线走

\boldsymbol\gamma_A(s)=P+s\boldsymbol e.

f(\boldsymbol\gamma_A(s))=1+\tfrac12s^2.

在 $s=0$ 的导数为零，但任何非零小步长都会升高。线性项消失，不等于二次项也消失。

B. 不离开等值圆，沿圆弧走

\boldsymbol\gamma_B(s)=\sqrt2\left(\cos\left(\tfrac\pi4+\tfrac{s}{\sqrt2}\right),\sin\left(\tfrac\pi4+\tfrac{s}{\sqrt2}\right)\right).

f(\boldsymbol\gamma_B(s))\equiv1.

$s$ 是有向输入弧长。它一直转弯保持在圆上，所以读数始终不变。并且 $\boldsymbol\gamma_B'(0)=\boldsymbol e$ 。

实验 D

同一个出发切向，两条路线却不一样

两条输入路径在 P 具有同一单位切向。拖动有向弧长 s：直线路径离开等值圆，圆弧路径留在等值圆。每个位置都用实际函数重新计算高度。

有向输入弧长 s0.7

\boldsymbol\gamma_A'(0)=\boldsymbol\gamma_B'(0)=\frac{(-1,1)}{\sqrt2},\qquad f(\boldsymbol\gamma_A(s))=1+\tfrac12s^2,\quad f(\boldsymbol\gamma_B(s))=1.

两条输入路径抬到同一图面上拖动旋转 · Shift / 右键平移 · 滚轮或按钮缩放

输入平面：沿切线 ≠ 沿等值线两条路线都用输入弧长 s 作参数

同一参数 s 下，函数值怎样变化？在 s=0 斜率相同，离开以后一个升高、一个不变

沿直线的输入与图面路径沿等值圆的输入与水平路径两条路径共同的初始图面切线

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

链式法则把这两个事实统一起来：在出发点，二者速度同为 $\boldsymbol e$ ，所以复合导数都等于 $\nabla f(P)\cdot\boldsymbol e=0$ 。之后曲率不同，函数值的更高阶变化便可以不同。

不要把三个命题互相替换

“在这一点方向导数为零”是一个瞬时结论；“沿某条路径导数处处为零”才有希望推出路径上的函数值恒定；“梯度在这一点为零”则是在可微条件下所有方向的一阶变化率同时为零。三个命题的范围完全不同。

07　按时间、输入距离、图面弧长，是三个不同的问题

设输入路径为 $\boldsymbol\gamma(t)$ ，在 $t=t_0$ 经过 $P$ ，速度 $\boldsymbol v=\boldsymbol\gamma'(t_0)\ne0$ 。单位前进方向为 $\boldsymbol e=\boldsymbol v/\|\boldsymbol v\|$ 。链式法则给出

\boxed{\frac{d}{dt}f(\boldsymbol\gamma(t))\bigg|_{t_0}=\nabla f(P)\cdot\boldsymbol v=\|\boldsymbol v\|D_{\boldsymbol e}f(P).}

时间变化率＝移动速度×单位距离变化率。若题目问每秒变化多少，速度不应被除掉；若问沿某方向每单位距离变化多少，才要消去速度大小的影响。这里速度非零是为了定义前进方向。

实验 E

路线没变，只把时钟拨快，哪个导数会变？

主例在 P=(1,1) 出发。左图使用参数 t，速度为 v=k(1,1)；右图改用有向输入弧长 s。所有“瞬时率”均在出发点计算，不与后来位置混用。

速度倍率 k（正数）1

\boldsymbol v=\sigma k(1,1),\quad \frac{df}{dt}\bigg|_0=2\sigma k,\quad \|\boldsymbol v\|=\sqrt2 k,\quad D_{\boldsymbol e}f=\sigma\sqrt2,\quad \sigma=\pm1.

按参数 t：同一时刻，走过的距离变了绿色为实际读数；金色为 t=0 的切线；灰色为 k=1 参照

按有向输入弧长 s：速度大小被消去k 改变，这条曲线不变；反向前进时一阶项反号

函数实际读数出发点的一阶切线单位倍率参照

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

把路抬到图面上，为什么又多出一个平方根？

当输入路径用输入弧长 $s$ 作参数时， $\|\boldsymbol\gamma'(s)\|=1$ 。图面轨迹 $\boldsymbol R(s)=(\boldsymbol\gamma(s),f(\boldsymbol\gamma(s)))$ 的速度却是

\boldsymbol R'(s)=(\boldsymbol e,D_{\boldsymbol e}f),\qquad \|\boldsymbol R'(s)\|=\sqrt{1+(D_{\boldsymbol e}f)^2}.

因为同时发生了水平移动和高度变化，图面上实际走过的弧长 $\ell$ 大于或等于输入距离。因此

\boxed{\frac{dz}{ds}=D_{\boldsymbol e}f,\qquad \frac{d\ell}{ds}=\sqrt{1+(D_{\boldsymbol e}f)^2},\qquad \frac{dz}{d\ell}=\frac{D_{\boldsymbol e}f}{\sqrt{1+(D_{\boldsymbol e}f)^2}}.}

若三个坐标都表示同单位的长度，在方向剖面里设切线与水平的有向坡角为 $\alpha$ ，则 $\tan\alpha=D_{\boldsymbol e}f$ ，而 $\sin\alpha=dz/d\ell$ 。方向导数可以大于 1，它不是一个正弦值。若 $f$ 表示温度，三维高度只是温度的绘图编码，不能不说明单位就把画出来的夹角当作物理坡角。

把梯度方向真正抬到图面上

当 $\boldsymbol g\ne0$ 时，输入最快方向为 $\boldsymbol e=\boldsymbol g/\|\boldsymbol g\|$ 。图面上对应切向是

\left(\frac{\boldsymbol g}{\|\boldsymbol g\|},\ \|\boldsymbol g\|\right).

或取它的非零倍数 $(\boldsymbol g,\|\boldsymbol g\|^2)$ 。这才是“沿梯度方向爬上图面”的切向，不是 $(\boldsymbol g,0)$ ，更不是图面法向。要把它变成图面单位切向，还得除以它的三维模。

08　原笔记例 12：先解题意，再算导数

原题完整陈述

求 $z=\ln(x+y)$ 在点 $P=(1,2)$ 处，沿抛物线 $y^2=4x$ 在该点偏向 $x$ 轴正向的切线方向的方向导数。

这句话里有两个函数、一个输入点、一个选向要求。 $f(x,y)=\ln(x+y)$ 是要测量的读数； $G(x,y)=y^2-4x=0$ 是提供方向的约束曲线。 $P$ 位于输入平面，它对应的图面点才是 $M=(1,2,\ln3)$ 。

这道题的方向在哪里？

在输入平面里，必须沿抛物线的切线。切线有两个相反方向。“偏向 $x$ 轴正向”只要求选择 $x$ 分量为正的那个，不是让你沿 $x$ 轴本身走。

为什么能用梯度公式？

$P$ 满足 $x+y=3>0$ ，对数函数在它的一个邻域内光滑，可微条件满足。因而

\nabla f(P)=\left(\frac1{x+y},\frac1{x+y}\right)_{(1,2)}=\left(\frac13,\frac13\right).

如何找到方向，而不是凭图猜？

对 $y^2=4x$ 求导： $2y\,dy/dx=4$ ，在 $P$ 有 $dy/dx=1$ 。所以可以取 $\boldsymbol v=(1,1)$ ，而 $(-1,-1)$ 不符合正向要求。也可求约束梯度 $\nabla G(P)=(-4,4)$ ，再取与它垂直的 $(1,1)$ 。

去掉速度，保留方向

\boldsymbol e=\frac{(1,1)}{\sqrt2},\qquad D_{\boldsymbol e}f(P)=\left(\frac13,\frac13\right)\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt2}=\boxed{\frac{\sqrt2}{3}}.

误用 $(1,0)$ 得到 $1/3$ ，是选错方向；直接点乘 $(1,1)$ 得到 $2/3$ ，是没有单位化。两个错误的来源不同。

实验 F

原题的四种选择：方向、正负、单位逐一核对

先比较蓝色箭头：沿 +x 不等于沿抛物线切向。再看右边的差商；只有选对单位方向，趋于零时才得到题目所问的方向导数。

比较步长 h0.25

f(x,y)=\ln(x+y),\quad G(x,y)=y^2-4x,\quad P=(1,2),\quad \nabla f(P)=\left(\tfrac13,\tfrac13\right).

输入平面：抛物线提供方向，不提供读数紫色箭头为读数梯度的单位方向；蓝色为当前所选向量

当前路线的有限差商 → 瞬时读数横坐标是分母中的参数 h；是否等于输入距离，要看是否单位化

约束抛物线 G=0当前所选输入向量读数梯度 ∇f 的单位方向题目正确答案 √2/3

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

同一点的三个向量	值	角色
读数梯度 $\nabla f(P)$	$(1/3,1/3)$	二元对数函数的最快增长方向。
约束梯度 $\nabla G(P)$	$(-4,4)$	抛物线的平面法向，不是读数的最快方向。
图面法向 $\nabla(z-f)$	$(-1/3,-1/3,1)$	三维对数图面在 $M$ 的法向。

不用方向导数公式，怎样从参数求导交叉验算？

取抛物线参数 $y=t,\ x=t^2/4$ ，在 $t=2$ 经过 $P$ 。参数增加时 $x'(2)=1>0$ ，方向选对。复合函数与输入速度分别为

\frac{d}{dt}\ln\left(\frac{t^2}{4}+t\right)\bigg|_{t=2}=\frac{t/2+1}{t^2/4+t}\bigg|_{t=2}=\frac23,\qquad \|\boldsymbol\gamma'(2)\|=\sqrt2.

所以按单位输入弧长的变化率是 $(2/3)/\sqrt2=\sqrt2/3$ ，与前面一致。题目虽然只问切线方向，而这里用了实际抛物线路径，但二者在该点具有同一瞬时方向；可微时，这已经足以给出相同的一阶变化率。

再做一次整体核验

本题恰好有 $\boldsymbol e=\nabla f/\|\nabla f\|$ ，所以答案还等于 $\|\nabla f(P)\|=\sqrt2/3$ ：此切向在这个点恰好是读数增长最快方向。这个巧合不是一般规律；换一个函数或点，约束切向通常不再与读数梯度平行。

09　条件不满足时，哪些结论会失效？

零梯度：一阶信息安静下来，二阶形状并没有消失

光滑函数 $\tfrac12(x^2+y^2)$ 、 $-\tfrac12(x^2+y^2)$ 、 $\tfrac12(x^2-y^2)$ 在原点都有零梯度。它们的所有方向导数都是零，切平面也都是 $z=0$ 。但原点分别是严格极小点、严格极大点、鞍点。

所以“零梯度”既不意味着图面没有法向，也不等于已经判定极值。图面法向仍可取 $(0,0,1)$ 。但输入平面的零水平集可能退化为一点或变成相交曲线，此时不能硬套“非零梯度给出等值线法向”的正则结论。

实验 G

相同零梯度，不同形状；偏导存在，也可能没有统一切平面

前三种函数在原点光滑，零梯度并不妨碍水平切平面存在。第四种连续且各方向导数存在，但真实方向读数无法由偏导向量统一给出。

输入方向角 θ45

原点附近的真实函数图面拖动旋转 · Shift / 右键平移 · 滚轮或按钮缩放

沿方向的变化 / 一整圈方向导数切换模式后，坐标轴含义会同时更新

真实函数图面选定方向的图面截线 / 真实方向导数切平面；不可微模式中仅是“错误候选”非零的图面单位法向（仅光滑模式）

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

偏导数都存在：只能定义一个偏导向量，不保证它能统领所有方向

考虑

q(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}

因为 $|q(x,y)|\le|x|$ ，它在原点连续。沿坐标轴计算， $q_x(0,0)=1$ 、 $q_y(0,0)=0$ 。因此偏导向量 $\nabla q(0,0)=(1,0)$ 确实存在。

但对于任意单位方向 $\boldsymbol e=(u,v)$ ，有 $u^2+v^2=1$ ，于是

q(hu,hv)=\frac{h^3u^3}{h^2(u^2+v^2)}=hu^3,\qquad D_{\boldsymbol e}q(0,0)=u^3.

误套点积公式则得到 $\nabla q\cdot\boldsymbol e=u$ 。二者不相同。例如 $\boldsymbol e=(1,1)/\sqrt2$ 时，真实方向导数为 $1/(2\sqrt2)$ ，不是 $1/\sqrt2$ 。上面的实验切到“偏导存在但不可微”，会把两条方向读数曲线同时画出。

两个需要说精确的地方

不能说“不可微就没有任何方向导数”：本例每一个方向的导数都存在。也不能说“不可微时点积公式一定在每个方向都错”：沿坐标轴它恰好对。正确结论是：只有偏导存在，不能保证点积公式对所有方向成立。

再深入一层：所有方向都能拼成零线性读数，也仍不足以证明可微

考研首先要掌握上一个反例。下面这个反例用来封住逻辑上的最后一个缺口，不需当作新的常规计算套路：

\psi(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^3y}{x^4+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}

由 $2|x^2y|\le x^4+y^2$ ，得 $|\psi(x,y)|\le|x|/2$ ，所以它在原点连续。沿任何固定单位方向 $(u,v)$ ：当 $v\ne0$ 时，

\frac{\psi(hu,hv)}h=\frac{h u^3v}{h^2u^4+v^2}\longrightarrow0;

当 $v=0$ 时分子恒为零。因此所有方向导数都为零，偏导向量也是零。然而沿曲线 $y=x^2$ 、 $x\to0^+$ ，

\psi(x,x^2)=\frac x2,\qquad \frac{\psi(x,x^2)}{\sqrt{x^2+x^4}}=\frac1{2\sqrt{1+x^2}}\longrightarrow\frac12\ne0.

所以它不可微。每条固定方向各自通过测试，不等于所有接近方式被同一个小误差统一控制。这里失败的是误差关于所有接近方式的整体要求，而不是某个固定方向的导数不存在。

实验 H

固定直线都通过，弯曲路线却检出一阶误差

零偏导意味着可微时只能以零平面作线性模型。将误差除以实际输入距离：沿直线的比值趋于零，沿 y=x² 的比值却趋于 1/2。图直接计算比值，不用粗网格伪造狭窄曲脊。

正向逼近参数 x0.15

\frac{\psi(x,x)}{\sqrt{2x^2}}=\frac{x}{\sqrt2(1+x^2)}\to0,\qquad \frac{\psi(x,x^2)}{\sqrt{x^2+x^4}}=\frac1{2\sqrt{1+x^2}}\to\tfrac12\quad(x\to0^+).

两条输入路线，都趋向原点参数 x 一样，但 y 坐标不同

误差 / 实际输入距离虚线是极限 1/2，圆环表示 x=0 处并未直接定义商

直线 y=x曲线 y=x²比值的非零极限

图形与数值由同一解析式计算。读数取近似值；箭头是否单位化以图例为准。浅虚线表示被曲面遮挡的部分。

10　回到全章：三元场的梯度、等值面与交线切向

对三元函数 $u=G(x,y,z)$ ，输入空间本来就是三维，故 $\nabla G=(G_x,G_y,G_z)$ 是三维向量。它在正则点垂直于等值面 $G(x,y,z)=c$ 。例如 $G=x^2+y^2+z^2$ 的等值面是球面，梯度沿径向。

球面不是这个三元函数的完整“函数图像”

$G:\mathbb R^3\to\mathbb R$ 的完整图像需要四个坐标 $(x,y,z,u)$ 。三维画出的球面 $G=c$ 是输入空间里某一个读数对应的等值面。我们画不出第四个坐标，并不影响用梯度研究三维场的变化。

若空间曲线是两正则曲面的交线 $F=0,G=0$ ，它的切向 $\boldsymbol t$ 同时保持两项约束的一阶变化为零：

\nabla F\cdot\boldsymbol t=0,\qquad \nabla G\cdot\boldsymbol t=0.

因此当两个梯度不平行时，可取 $\boldsymbol t=\nabla F\times\nabla G$ 。这就是前一单元交线切向公式的机制：每增加一个独立约束，就增加一个“点积必须为零”的方向限制。

不要把“提供约束的梯度”和“测量读数的梯度”混用

沿两曲面交线走，温度怎样变？

交线由 $F=x^2+y^2+z^2-3=0$ 、 $G=z-1=0$ 给出，在 $M=(1,1,1)$ 沿 $x$ 分量为正的切向走。温度为 $T=x+2y+3z$ 。

\nabla F(M)=(2,2,2),\quad \nabla G(M)=(0,0,1),\quad \boldsymbol t=(2,-2,0).

\boldsymbol e=\frac{(1,-1,0)}{\sqrt2},\quad \nabla T=(1,2,3),\quad D_{\boldsymbol e}T=-\frac1{\sqrt2}.

前两个梯度用于找允许的方向，最后一个梯度用于算该方向的读数变化。若拿 $\nabla F$ 去算温度变化，当然会得到错误的物理量。

高观点：把“最快方向”推广到有方向限制的情况

在正则约束曲面上，只能沿切平面方向移动。将目标函数的梯度分解为切向分量 $\boldsymbol g_T$ 与法向分量。因为允许的切向 $\boldsymbol e$ 与法向分量点积为零，变化率只剩 $\boldsymbol g_T\cdot\boldsymbol e$ 。因此受约束的最大方向导数是 $\|\boldsymbol g_T\|$ ，并非总是原梯度的模。若 $\boldsymbol g_T=0$ ，各允许方向的一阶变化都为零。这个结论仍然只是“投影＋点积”，不是另一套孤立规则。

11　最后用对象、空间、单位、条件四次核对

看到的量	先问什么	不能误当作什么
$\nabla f=(f_x,f_y)$	是哪个二元函数、在哪个输入点？	不是三维图面法向；不是自动单位化的方向。
$D_{\boldsymbol e}f$	$\boldsymbol e$ 是否单位？函数是否满足所用公式的条件？	不是有限步长的实际增量，也不是每单位时间的变化率。
$df_P(\boldsymbol h)$	输入的是哪个位移 $\boldsymbol h$ ？	是增量的线性预测，不是一般情况下的精确增量。
$\nabla F$ 作为法向	哪个等值面 $F=c$ ？是否非零、正则？	梯度为零不证明几何集合没有法向。
$(\boldsymbol e,D_{\boldsymbol e}f)$	是否在函数图面的切平面中？	一般不是单位切向，更不是法向。
$\nabla f\cdot\boldsymbol v$	$\boldsymbol v$ 是方向，还是带速率的速度？	时间变化率不应无条件单位化。

做题时，把四个问题按顺序写在脑中：要测谁的读数？在哪个空间移动？题目按什么单位计量？公式的条件是否满足？随后再做偏导、选向、单位化与点乘。这样既不会把约束法向当成增长方向，也不会把曲面法向塞进二维方向导数。

① 已知函数在 P 可微， $\nabla f(P)=(2,3)$ 。图面法向能取 $(2,3,0)$ 吗？

检查解释，不只看答案

不能。它与图面切向 $(1,0,2)$ 的点积为 $2\ne0$ 。可取 $(-2,-3,1)$ 或 $(2,3,-1)$ 。

② 函数在 P 可微， $\nabla f(P)=(1,2)$ 。沿 $(3,4)$ 的方向导数是多少？

展开单位化

\boldsymbol e=(3/5,4/5),\qquad D_{\boldsymbol e}f=11/5.

若题目改成速度 $\boldsymbol v=(3,4)$ 的每秒变化率，则答案为 $11$ 。区别在分母。

③ 方向导数为零，沿切线走出一小步，函数值必不变吗？

用主例反驳

不必。主例沿等值圆切线的增量为 $h^2/2$ 。除以 $h$ 后趋于零，但有限步长增量仍为正。

④ 图面上的单位切向是 $(\boldsymbol e,D_{\boldsymbol e}f)$ 吗？

检查三维长度

只有 $D_{\boldsymbol e}f=0$ 时才是单位向量。一般要除以 $\sqrt{1+(D_{\boldsymbol e}f)^2}$ 。

⑤ 在一个点梯度为零，等值线一定有一条确定的切线吗？

区分正则点与退化点

不一定。 $x^2+y^2=0$ 只有一点； $x^2-y^2=0$ 是两条交叉直线。梯度非零的正则条件不能丢。但相应函数图面都可以有水平切平面。

⑥ $F=0$ 与 $F^2=0$ 是同一曲面，两个梯度也一样有效吗？

求导后再判断

不一样。 $\nabla(F^2)=2F\nabla F$ ，在零集合上为零。几何集合没变，但此定义函数不再提供非零法向。

梯度不是一根来历不明的“最陡箭头”。
它把一阶变化率组织成一个向量。

沿单位方向读它，得到方向导数；要求读数为零，得到等值集的切向；把输出当成高度抬起来，得到图面切向；换成图面的三元定义函数求梯度，才得到图面法向。四件事，一条链。

图形如何保证与公式对得上

三维曲面由标出的解析式采样，二维方向剖面单独用精确公式绘制。三维相机采用正交投影与统一轴尺度；二维输入图、方向图采用等比例坐标。带“单位方向”标记的箭头已经单位化，其余按标注的真实向量绘制。曲面网格是有限采样显示，不把像素图当作证明；退化点、不可微例外和定义函数失效均在文字与状态栏中单独说明。

CHAPTER 11 空间解析几何 / 完整课程

综合与查漏：一条清晰的解题链

读对象 → 写约束 → 找方向 → 选方法 → 反向验证。

1. 综合题：斜平面正投影，再绕轴旋转 2. 同一影线，用点投影和方向投影独立核验 3. 看到题目，按“要求的对象”选入口 4. 八道自测：重点是为什么，不是只核对答案 5. 最后检查五件事

高观点必须落到计算上

不靠题型碎片记忆，靠中间对象接力。

每一步先说明“我要得到什么”，再选择相应的工具。方向向量、辅助平面、参数方程、存在性区间，都是可复用的中间结果。

1. 综合题：斜平面正投影，再绕轴旋转

笔记标注的综合题 · 修正运算

直线 $(x-1)/1=y/1=(z-1)/(-1)$ ，投到 $\Pi:x-y+2z-1=0$ ，再让影线绕 $y$ 轴旋转

第一步：读“正投影”。从原线每一点沿目标面的法向走，所有垂足的轨迹是影线。原线方向 $\boldsymbol\tau=(1,1,-1)$ ，目标面法向 $\boldsymbol n=(1,-1,2)$ 。它们不平行，所以影子不退化成点。

第二步：构造全部投影线所在的平面。辅助面包含 $\boldsymbol\tau$ 与 $\boldsymbol n$ ，法向为

\boldsymbol n_1=\boldsymbol\tau\times\boldsymbol n=(1,-3,-2).

原线上取 $P_0=(1,0,1)$ ，辅助面

\Pi_1:(x-1)-3y-2(z-1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-3y-2z+1=0.

第三步：影线等于两平面交线。

L_0:\begin{cases}x-3y-2z+1=0,\\x-y+2z-1=0.\end{cases}

两式相加： $2x-4y=0$ ，所以 $x=2y$ ，不是 $x=4y$ 。两式相减： $-2y-4z+2=0$ ，故 $z=(1-y)/2$ 。选将来的旋转轴坐标 $y=t$ ：

\boxed{L_0:\ x=2t,\ y=t,\ z=(1-t)/2}.

第四步：旋转只保留轴向位置和半径。绕 $y$ 轴：

x^2+z^2=(2t)^2+\left(\frac{1-t}{2}\right)^2,\qquad y=t.

消去 $t$ ，展开得到

\boxed{4x^2+4z^2-17y^2+2y-1=0}.

第五步：双重反向检查。将 $(2t,t,(1-t)/2)$ 代入旋转曲面恒等成立；将它代入两个平面也都恒等为零。投影方向 $(4,2,-1)$ 与目标面法向的点积为 $4-2-2=0$ 。

INTERACTIVE / 互动推演

原直线 → 垂足轨迹 → 绕 y 轴旋转

先看原线上一点怎样沿目标面法向落到影线上；切到旋转，观察影线怎样生成具有非零腰部的曲面。

LAB

原线 / 影线参数 t0.35旋转显示角 / 度300

空间关系 · 三维

拖动旋转 · 右键平移 · 滚轮缩放 · 坐标面按钮可消除遮挡

平面对照 · 二维等比例坐标

原直线目标面 / 影线 / 旋转曲面垂线与指定点

正投影右图位于辅助平面中：横向沿影线，纵向沿目标面法向，因而垂线在此图中仍是真实直角。旋转模式右图是经线截面。

2. 同一影线，用点投影和方向投影独立核验

由点到平面垂足公式， $P_0$ 的影子为

Q_0=(1,0,1)-\frac{2}{6}(1,-1,2)=(2/3,1/3,1/3).

原方向的面内分量为

\boldsymbol\tau_\Pi=(1,1,-1)-\frac{-2}{6}(1,-1,2)=(4/3,2/3,-1/3).

所以影线也可写作 $Q_0+s(4,2,-1)$ 。这与 $x=2t,y=t,z=(1-t)/2$ 是同一条线，但参数不是同一个参数。验证同线要看点和方向，不要要求不同参数式字面相等。

3. 看到题目，按“要求的对象”选入口

要求什么	先找什么	落地公式	最后检查
直线	点＋非零方向	参数式	经过指定点？平行/垂直条件？
平面	点＋非零法向	点法式	法向与面内各方向正交？
曲线切线	导向量或两法向叉积	沿切向的直线	导向非零？指定点已代入？
曲面切平面	梯度或全微分	法向约束	正则性？第三项坐标正确？
旋转曲面	轴向坐标与半径	两个不变量后消参	原母线是否被包含？范围是否丢失？
投影	原坐标的存在条件	消元＋实数性	能否构造每个影点的原像？
方向导数	可微性＋有向单位向量	梯度点乘单位方向	方向正负？按时间还是按距离？

4. 八道自测：重点是为什么，不是只核对答案

① 零坐标与平行

过 $(1,2,3)$ 、方向为 $(0,2,-1)$ 的直线应如何写？

查看推导

$x=1,y=2+2t,z=3-t$ 。若要对称式，写 $x=1,(y-2)/2=(z-3)/(-1)$ 。零方向分量意味着 $x$ 不变，不存在普通意义下的除以零。

② 共面不是相交

$L_1=(t,0,0)$ ， $L_2=(s,1,0)$ 。混合积为零，为什么两线不相交？

查看推导

两方向都为 $(1,0,0)$ ，已平行。连接向量 $(0,1,0)$ 与方向不共线，所以不重合。混合积为零只说明共面；这里漏了“不平行”前提。

③ 点到线距离

$P=(1,2,3)$ 到 $x$ 轴的距离是多少？用叉积核验。

查看推导

取轴上原点，方向 $(1,0,0)$ 。叉积 $(1,2,3)\times(1,0,0)=(0,3,-2)$ ，模为 $\sqrt{13}$ ，方向模为 1，故距离 $\sqrt{13}$ 。也等于垂直轴的 $yz$ 分量长度。

④ 平面投影会退化吗

直线 $(1,2,t)$ 正投影到 $z=0$ 后是什么？

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每个点映射到同一个 $(1,2,0)$ ，因此是点。原方向与面法向平行，投影方向向量为零。不能还要求写出一个非零方向的影线。

⑤ 实数投影范围

曲线 $x^2+y^2+z^2=1,y=0$ 投到 $xOy$ 平面，是整个 $x$ 轴吗？

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恢复 $z^2=1-x^2$ 要求 $|x|\le1$ 。真实影子是线段 $y=z=0,-1\le x\le1$ 。投影未必保留曲线的维度或闭合形状，消元不能丢掉不等式。

⑥ 旋转的分支条件

射线 $(t,0,t)$ ， $t\ge0$ ，绕 $z$ 轴旋转。

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$z=t\ge0$ ，半径平方为 $t^2$ 。所以 $x^2+y^2=z^2,z\ge0$ 。若漏掉 $z\ge0$ ，多出整个下半锥。

⑦ 梯度与法向

$f=x^2+y^2$ 在 $(1,1)$ 的梯度，与图面在 $(1,1,2)$ 的法向分别是什么？

查看推导

二维梯度 $(2,2)$ ；三维图面法向 $(2,2,-1)$ 或其任意非零倍数。前者垂直平面等值线，后者垂直三维切平面。

⑧ 参数变化率不等于方向导数

$f=x+2y$ ，沿路径 $(x,y)=(3t,4t)$ 。每单位参数变化率与每单位距离变化率分别是多少？

查看推导

复合函数 $f=11t$ ，参数变化率为 11。速度 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ ，故单位距离变化率为 $11/5$ 。梯度 $(1,2)$ 点乘单位向量 $(3/5,4/5)$ 得到同一个结果。

5. 最后检查五件事

对象：这是点、向量、曲线、曲面，还是填满的区域？环境：是在二维面内，还是在三维空间？条件：是否需要实数解、非零向量、可微性、参数范围？单位：当前是任意方向、单位方向，还是带速度的参数向量？反证检查：能否代一个点、算一个点积、恢复一个被消坐标，快速排除写错的集合？

方程负责位置，向量负责方向。
旋转找不变量，投影问存在性，微分做线性近似。

这不是五句互相独立的口诀，而是从全局几何到局部变化的一套语言。

不把空间几何学成一袋公式。

先问对象是什么，再问允许怎样移动。

点集与自由度

允许位移与垂直方向

曲对象的局部直模型

先统一语言：同一组数字，可能扮演不同角色

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如何读一幅交互图

三维负责空间关系

二维负责无歧义判断

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向量把“朝向关系”变成可以计算的代数。

1. 点与位移：为什么一定是终点减起点

只需要方向

需要按单位距离比较

2. 线性运算、平行与定比分点

定比分点：

3. 点积：有向投影乘上另一个向量的长度

有向投影：一个数

投影向量：一个向量

4. 叉积：同时垂直于两个方向，并记住有向面积

5. “含零坐标秒算”只是解两个正交方程

6. 混合积：体积是否塌成零

直线写“位移是倍数”，平面写“位移与法向正交”。

直线：一维允许位移

平面：一个正交约束

1. 直线的三种写法，是同一个对象

2. 平面一般式、点法式与截距式

3. 过三点作平面：先造平面内的两个方向

经过

4. 平面束：用已知交线自动满足“经过”的条件

5. 参数式是求交点的“公共接口”

距离不是背分式，而是“高度”。

1. 先判方向，再判完整位置关系

叉积为零

叉积不为零

2. 为什么线面角用正弦，而另外两种用余弦

线与线

面与面

线与面

3. 三个距离公式，由同一个“高”得到

点到平面

点到直线；平行线间距离

两条不平行直线之间的距离

4. 垂足：既在原对象上，又与连接方向垂直

过 ，作与 垂直相交的直线

5. 垂足公式：把多余分量减掉

先找自由方向，再看符号、一次项和范围。

1. 十类图形放在同一套坐标语言中比较

2. 柱面不一定圆：缺哪个变量，就沿哪个方向平移

3. 椭球：水平截线有一个有限的存在区间

4. 椭圆锥：半径与离顶点的高度成正比

5. 单叶与双叶：检查“中间有没有空缺高度”

单叶双曲面

双叶双曲面

6. 两种抛物面：一次变量是“输出高度”

椭圆抛物面：两个方向同向弯

双曲抛物面：两个方向反向弯

7. 不标准的方程：先配方，再分类

隐式方程筛选点，参数方程生成点。

1. 参数化不是随便给三个字母分别赋值

2. 球面与斜平面的交线：投影椭圆，不等于原曲线椭圆

3. 抛物面与平面相交：先配出圆，再恢复高度

4. 螺旋线：同一参数协调周期运动与线性上升

5. 参数的下一份工作：给出切向与运动速度

旋转改变朝向，不改变半径和轴向坐标。

1. 绕坐标轴：为什么恰好出现“两平方之和”

2. 平面母线：根号替换是距离替换的简写

平面中 ，绕 轴旋转

3. 空间母线：参数化，然后只消一个参数

绕 轴

两平面交线绕 轴

4. 绕一般直线：坐标公式的向量化

哪个投影点背后，确实有一个原来的点？

1. 一个点投到坐标面：保留哪两个坐标

2. 曲线投影：先把“某点属于影子”翻译出来

截取：限制原空间点的高度

投影：允许原点有任意合法高度

螺旋线 ，

3. 投影柱面：把所有投影射线保留下来

不把空间几何
学成一袋公式。

定比分点： $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}$

经过 $A(1,1,-1),B(-2,-2,2),C(1,-1,2)$

过 $A(2,1,3)$ ，作与 $L:(x+1)/3=(y-1)/2=z/(-1)$ 垂直相交的直线

$xOz$ 平面中 $z^2=5x$ ，绕 $x$ 轴旋转

$(x-1)/2=y=z$ 绕 $z$ 轴

两平面交线绕 $y$ 轴

螺旋线 $(a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta)$ ， $b\ne0,\theta\in\mathbb R$

$\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t,t)$ 在 $t=0$

实验图面 $z=(x^2+y^2)/2$ ，点 $(a,b,(a^2+b^2)/2)$

$x^2+y^2+z^2=9$ 、 $y-x=0$ ，点 $(0,0,3)$

先问“谁的梯度”，
再问“垂直于谁”。

01　先把三个对象摆开：输入点、函数值、图面点

02　方向导数的分母，究竟是哪一段长度？

03　梯度为什么由偏导数组成？不是拼凑，而是线性近似被两个坐标方向确定

04　一个点积，为什么能读出“最快、最慢、瞬时不变”？

05　梯度究竟垂直谁？从等值线到图面法向，逐层推出来

第一层： $\nabla f$ 垂直输入平面里的等值线